15.5. Описание решений в одномерном случае ветвления.
При 
уравнение (15.9) принимает вид
и его можно записать в виде (12.4), т. е. имеем одномерный случай ветвления. Так же, как в п. 12.2, если не все коэффициенты уравнения разветвления равны нулю, при помощи диаграммы Ньютона мы находим все малые решения уравнения (15.12):
По найденным значениям 
мы находим все решения 
системы (15.7); они также будут представимы в некоторой окрестности точки 
в виде сходящихся рядов по целым степеням 
где 
натуральные числа. Подставляя эти значения а в (15.5), мы по формуле (15.4) получим все 
-периодические решения поставленной задачи:
— натуральные числа). Эти ряды сходятся в некоторой окрестности точки 
Мы приходим к следующим предложениям.
Теорема 15.2. Если не все коэффициенты уравнения разветвления (15.12) равны нулю, то от заданного 
-периодического решения 
порождающего уравнения (15.2) ответвляется конечное число непрерывных оапериодических решений уравнения (15.1). При этом компоненты каждой ветви представимы в некоторой окрестности точки 
в виде сходящихся рядов (15.14).
Теорема 15.3. Если все коэффициенты уравнения разветвления (15.12) равны нулю, то от заданного 
-периодического решения 
порождающего уравнения (15.2) ответвляется однопараметрическое семейство апериодических решений
где 
— произвольный параметр и 
В условиях теоремы 15.2 числа 
находятся при помощи диаграммы Ньютона.
Заметим, что частные случаи, рассмотренные в п. 2.7, приводят, как в п. 12.2, к различным выводам о числе всех 
-периодических решений рассматриваемой задачи, о виде каждого решения, а в вещественном случае, т. е. когда пространство 
и параметр X вещественны, о числе вещественных решений и о виде каждого из них.
Как и в предыдущем пункте, вектор-функции 
входящие в ряды (15.14), могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов.
Рассуждая, как в предыдущем пункте, мы приходим к предложению.
Теорема 15.4. Если не все коэффициенты одномерного уравнения разветвления (15.12) равны нулю, то всякое формальное 
-периодическое решение поставленной для уравнения (15.1) задачи является и настоящим.
В дальнейшем будет показано (см. пример в п. 16.4), что в условиях теоремы 15.3 возможны формальные решения, которые не являются настоящими.
