13.4. Уравнение Некрасова.

Рассмотрим установившееся движение тяжелой жидкости, при котором на бесконечной глубине жидкость движется прямолинейно и равномерно с постоянной скоростью с, направленной вдоль прямой, параллельной горизонтали, которую мы примем за ось а на свободной поверхности граничная линия тока образует волны с неподвижными вершинами, причем жидкость течет вдоль этой линии тока в направлении оси Предположим, что положительное направление оси совпадает с направлением вектора с, а ось направлена вертикально вверх. Если всей жидкости придать скорость —с, то на бесконечной глубине она сделается неподвижной, а на свободной поверхности жидкости побегут волны со скоростью —с. Отсюда следует, что волповое движение жидкости с волнами установившегося вида приводится к установившемуся движению самой жидкости. Ввиду этого вместо волнового движения можно изучать указанное выше установившееся движение жидкости.

Пусть — потенциал скоростей и — функция тока этого установившегося движения жидкости. Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа

Так как на бесконечной глубине скорость равна то

Из интеграла Лагранжа

где — давление (постоянное на свободной поверхности), — плотность жидкости, — ускорение силы тяжести, и — вектор скорости жидкости, мы для свободной поверхности жидкости получаем

Таким образом, решения уравнения должны удовлетворять граничным условиям (13.10) и (13.11), причем условие (13.11) должно выполняться вдоль линии тока, расположенной на свободной поверхности, т. е. на линии, форма которой ищется. Для нахождения формы этой линии А. И. Некрасов [1, 2] сначала использует конформное отображение бесконечной полуполосы, занятой одной волной, на единичный круг плоскости так, чтобы профиль волны соответствовал окружности этого круга, а точка рассматриваемой полуполосы — центру единичного круга. При этом предполагается, что длина волны равна X, что волны имеют вертикальную ось симметрии и что точка соответствует значению Отображения принимают вид

где в силу симметрии волны — вещественные числа. Полагая мы из формулы для при получаем уравнение профиля волны

так что угол Ф, составляемый касательной к профилю волны, примет вид

Знание функции приводит к полному решению задачи о профиле волны установившегося вида.

А. И. Некрасов [1, 2] показал, что функция является решением нелинейного интегрального уравнения

где (постоянное интегрирования) принимает лишь неотрицательные значения.