12.3. О точках бифуркации в одномерном случае ветвления.

Пусть — оператор, действующий из топологического произведения линейных пространств Е и Ей в линейное пространство Если в некоторой окрестности точки уравнение

имеет единственное непрерывное решение то говорят, что — регулярная точка уравнения (12.11). В противном случае точка называется точкой ветвления уравнения (12.11). Разумеется, если — регулярпая точка, то решение уравнения (12.11) при имеет единственное непрерывное продолжение в некоторой окрестности точки

Если при любом имеет место равенство

то точка ветвления (или, кратко, точка называется

точкой бифуркации уравнения (12.11), если существует хотя бы одно нетривиальное малое решение.

Рассмотрим вопрос о точках бифуркации уравнения (12.1). Разумеется, для того чтобы уравнение (12.1) имело решение при любом , необходимой достаточно, чтобы для всех к. При выполнении этого условия точка может служить точкой бифуркации. Выясним этот вопрос в предположении, что для уравнения (12.1) имеет место одномерный случай ветвления.

Если для всех к, то согласно лемме 11.3 имеют место равенства для всех . В частности, если для общего интегрального уравнения выполнено условие (10.5), то по лемме для всех если в уравнении Обратно. Пусть для всех Тогда при всех значениях Я уравнение разветвления (12.4) имеет решение Отсюда и из (12.3) согласно лемме 12.2 следует, что при всех уравнение (12.1) имеет решение .

Ввиду зтого результат, нолученный при рассмотрении случая 12.2.2, может быть сформулирован в виде предложения.

Теорема 12.1. Пусть в одномерном случае ветвления выполнены условиях для Тогда является точкой бифуркации уравнения (12.1). Помимо тривиального решения уравнение (12.1) имеет одно малое решение

которое в вещественном случае вещественно.

Отметим, что если для всех к (см. случай 12.2.1), то не является точкой бифуркации уравнения (12.1), хотя при всех это уравнение имеет решение

Предыдущие соображения приводят к ряду предложений о точках бифуркации, о числе соответствующих зтим точкам малых нетривиальных решений и о виде каждого малого решения. Если, например, то мы приходим к шести различным

предложениям о точке бифуркации уравнения (12.1) (они соответствуют случаям 12.2.1-12.2.6).

Приведем одно такое предложение (ср. 12.2.3).

Теорема 12.2. Пусть в одномерном случае ветвления выполнены условия: для для является точкой бифуркации уравнения (12.1). Этой точке бифуркации соответствуют два малых нетривиальных решения уравнения (12.1), и они представимы в виде

где при четном при нечетном т. В вещественном случае эти два решения вещественны и определены в некоторой окрестности точки если четно и а при нечетном они определены лишь для при и для при

При выполнении в одномерном случае ветвления условий получается 12 различных предложений (если корни соответствующих определяющих уравнений (2.18) простые) о точке бифуркации уравнения (12.1), и это число растет вместе с если . Ввиду этого мы приведем лишь следующие два предложения.

Теорема 12.3. Пусть в одномерном случае ветвления выполнены условия: для Тогда является точкой бифуркации уравнения (12.1). Этой точке бифуркации соответствует малых нетривиальных решений уравнения (12.1), и они представимы в виде

Из них в вещественном случае при четном лишь одно

является вещественным и оно определено в некоторой окрестности точки при нечетном имеется два вещественных решения и они определены либо для при либо для при

Доказательство проводится так же, как и в случае 12.2.8. Используя результат, установленный при рассмотрении случая 12.2.9, мы приходим к предложению.

Теорема 12.4. Пусть в одномерном случае ветвления выполнены условия: для для где Тогда является точкой бифуркации уравнения (12.1). Этой точке бифуркации соответствует решений

В вещественном случае из этих малых нетривиальных решений выделяются вещественные так же, как и в случае 12.2.9.