§ 31. Возмущение линейного уравнения малым линейным слагаемым

В этом параграфе рассматривается задача об отыскании решения уравнения

где В и А — операторы из есть Ф-оператор, — малый числовой параметр неизвестное у разыскивается в Как обычно, через обозначается число нулей оператора В. Без специальных оговорок мы будем пользоваться обозначениями и выводами § 30.

Если то существует и ограничен. Записывая уравнение (31.1) в виде

мы видим, что при существует и ограничен оператор и что этот оператор является в указанном круге аналитической функцией ибо справедливо разложение в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

Но поэтому у также является при тех же аналитической функцией. В тех же предположениях решение единственно и можно, конечно, найти методом неопределенных коэффициентов, т. е. в виде ряда Такие рассуждения мы приводим ниже при При этом может иметь в точке полюс, порядок которого подлежит определению.

31.1. Исследование случая n = 1.

Пусть и пусть — элементы А-жордановой цепочки, порожденной элементом Дефектный функционал выберем так, чтобы выполнялось условие (30.7). Пусть, далее, выбраны так, чтобы выполнялись условия (30.8) и (30.6). Операторы В и Г определим формулами (30.9) и (30.10). Заменим уравнение (31.1) эквивалентной ему системой

Предположим, что

тогда систему (31.2) можно записать в виде

Отсюда получаем уравнение для определения

Если воспользоваться равенством которое следует из формулы (21.24), и формулой

то уравнение для можно переписать так:

Рассмотрим сначала коэффициент при . Он равен

Первые элементов последовательности — это элементы А-жордановой цепочки. Далее, из (30.11) имеем Отсюда вытекает, что в последовательности периодически повторяется группа элементов А-жордановой цепочки, т. е. эта последовательность имеет вид (В частности, при последовательность стационарна.) Поэтому вследствие формул (30.5) и (30.7) имеем

и, следовательно,

Введем теперь в рассмотрение номер связанный с неоднородностью Если то положим Пусть теперь Рассмотрим числовую последовательность и обозначим через номер первого отличного от нуля члена этой последовательности. Если последовательность состоит из одних нулей, то положим

Пусть сначала и конечны, тогда

причем числитель имеет при нуль порядка Поэтому, если то а вместе с ней и решение получаемое подстановкой (31.5) в первую из формул (31.4), имеет при полюс порядка . В этих же предположениях, если уравнение (31.1) имеет при бесконечное множество решений

где I — произвольная постоянная.

Пусть теперь тогда из (31.6) видно, что — аналитическая функция в круге (31.3), а потому и решение — аналитическая функция в том же круге. Кроме того, при существует семейство решений вида (31.7).

Пусть или принимают бесконечные значения. Если то уравнение (31.5), а значит, и не имеют решения, ибо При если существует решение вида (31.7). Если то из (31.6) имеем , следовательно, аналитично. Имеется также решение (31.7), определенное лишь при Остался случай Теперь уравнение (31.5) удовлетворяется при любом Следовательно, наша задача в круге (31.3) имеет решение вида (31.7), где в качестве можно выбрать произвольную функцию от е. Этот случай можно назвать вырожденным. Этим установлено предложение.

Теорема 31.1. Пусть есть Ф-оператор с числом нулей

Если — базисный элемент в то при всех , где

существует единственное решение уравнения (31.1).

Если дополнительно выполнено неравенство то аналитично и при Если то в аналитично, а при имеет полюс порядка

Если уравнение (31.1) не имеет решений. Если то уравнение (31.1) имеет в С однопараметрическое семейство решений вида (31.7), причем в качестве можно взять произвольную функцию е.

Отметим еще, что во всех случаях, когда уравнение (31.1) имеет решение, определенное лишь при Это решение дается формулой (31.7), где произвольная постоянная.