14.5. Ветвление решений основного уравнения.

Вернемся к исследованию основного уравнения (14.3). Пусть 1 — простое собственное значение ядра Тогда так же, как в мы приходим к уравнению разветвления (10.18) малых решений уравнения (14.3), которое исследуется методами § 2 (см. в котором разобраны простейшие частные случаи). Пусть не все коэффициенты уравнения разветвления равны нулю. Запишем малые решения уравнения (10.18) в виде (2.5):

и допустим, что для некоторого решения (разумеется, т. е. соответствующее этому решению звено убывающей части диаграммы Ньютона составляет с отрицательным направлением оси абсцисс угол

Тогда в силу формулы (10.14) мы получим малое решение уравнения (14.3), имеющее вид

при Отсюда и из (14.2) следует, что уравнение (14.1) будет иметь особое решение вида

при где Мы, следовательно, приходим к предложению.

Теорема 14.2. Пусть выполнены условия:

1. 1 — простое собственное значение ядра

2. Уравнение разветвления (10.18), выведенное для уравнения (14.3), имеет вещественные решения вида

при

Тогда каждому такому решению уравнения разветвления соответствует особое решение вида (14.12) уравнения (14.1).

Отметим, что решения вида (14.12) могут быть построены приемами, указанными в § 13.

Отметим еще, что если все малые решения уравнения разветвления, составленного для уравнения (14.3), имеют при вид (14.13), где то малые решения уравнения (14.3) не порождают особых решений рассматриваемого вида уравнения (14.1).

Аналогично обстоит дело и в том случае, когда 1 — собственное значение кратности ядра В этом случае мы приходим к уравнению разветвления вида (10.24), которое исследуется методами § 6 (см. Айзенгендлер [21).

Пусть — малые решения уравнения (10.24), причем координаты вектора имеют при вид

Тогда, если для некоторого то такое малое решение уравнения разветвления (в силу формулы (10.20)) приводит к особому решению вида (14.12) уравнения (14.1).

Если все малые решения уравнения разветвления (10.24), выведенного для уравнения (14.3), имеют вид (14.13) и для них , то малые решения уравнения (14.3) не порождают особых решений рассматриваемого вида уравнения (14.1).

Основное уравнение (14.3) может иметь и другие (не малые) решения. Полагая в уравнении мы получим вспомогательное для него уравнение

Данное вспомогательное уравнение может иметь ненулевые решения. Пусть ненулевое решение уравнения (14.14). Тогда при помощи замены (14.8) уравнение (14.3) принимает вид

Данное уравнение исследуется так же, как уравнение (14.9), и всякое его малое вещественное решение приводит к особому решению уравнения (14.1):