2.7. Внутренние оценки производных

Непосредственным дифференцированием интеграла Пуассона можно получить внутренние оценки производных гармонических функций. Такие же оценки следуют также и из свойства среднего. Пусть функция и гармонична в и Так как градиент также является гармонической функцией в 12, то по свойству среднего и теореме о дивергенции мы можем записать

и, следовательно,

где

Последовательным применением оценки (2.31) к набору равноотстоящих друг от друга вложенных шаров получаются оценки для производных высших порядков.

Теорема 2.10. Пусть и - гармоническая функция в и пусть - произвольное компактное подмножество в . Тогда для любого мульти-индекса а

где

Непосредственным следствием оценки (2.32) является равностепенная непрерьюность на компактных подмножествах рассматриваемой области производных любого ограниченного множества гармонических функций. По теореме Арцела из этого следует, что любое ограниченное множество гармонических функций является нормальным семейством. Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.11. Любая ограниченная последовательность гармонических в области функций содержит подпоследовательность, сходящуюся равномерно на компактных подмножествах к гармонической функции.

Отметим, что теорема о сходимости — теорема 2.8 — может быть получена непосредственно из теоремы 2.11.