17.5. Задача Дирихле для равномерно эллиптических уравнений

В этом разделе мы покажем, что наличие внутренних оценок производных, получаемых в предыдущем разделе, в действительности достаточно для того, чтобы доказать разрешимость задачи Дирихле для некоторых

типов равномерно эллиптических уравнений, включая уравнения типа уравнений Беллмана - Пуччи. Так как эти оценки были доказаны для решений класса то нам сначала потребуется результат о регулярности, связывающий их с условиями метода продолжения по параметру, как того требует теорема 17.8.

Лемма 17.16. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению а оператор эллиптичен на функции . Тогда: если то для всех если

Доказательство. Используем подобно тому, как это делалось при доказательстве теоремы 6.17, метод разностных отношений. Пусть фиксированный координатный вектор, Запишем

Зафиксируем подобласть и возьмем достаточно малое А. Разностное отношение удовлетворяет в линейному уравнению

которое является эллиптическим и имеет равномерно непрерывные коэффициенты в Из внутренних оценок в (теорема 9.11) следуют не зависящие от А оценки для где и поэтому в силу леммы 7.24 функция и принадлежит для любого силу теоремы вложения Соболева (теорема 7.10) получаем, что и для всех Поэтому если с некоторым то мы можем к уравнению (17.56) применить результат о регулярности Шаудера (теорема 6.17). Получим, что и . Отметим, что если бы мы сначала имели и с некоторым то для получения доказанного результата не нужны оценки в Итак, лемма 17.6 доказана для Доказательство большей внутренней гладкости получается теперь с помощью обычной итерационной или "bootstraping" процедуры.

С помощью леммы 17.16 доказывается, что оценки разделов 17.3 и 17.4 имеют место для решений уравнения (17.1) класса Мы должны отметить, что в случае, рассмотренном в разделе 17.4, для проводимых доказательств достаточно предполагать, что Отсутствие глобальных оценок в можно компенсировать с помощью видоизменения функции вблизи границы следующим образом. Пусть последовательность функций, принадлежащих удовлетворяющих в неравенствам и таких, что при Вместо оператора рассмотрим операторы определенные формулами

Если оператор удовлетворяет условиям теоремы 17.14 или теоремы 17.15, то этим же условиям удовлетворяют и операторы со структурными постоянными, зависящими, быть может, от . В итоге мы получим внутренние оценки в решений уравнений такого же вида, как и оценки теорем 17.14 и 17.15. Однако вблизи границы Поэтому для достаточно гладких граничных значений оценки в вблизи получаются из теории Шаудера, в частности, из леммы 6.5. Используя описанную процедуру, докажем следующий результат о разрешимости.

Теорема 17.17. Пусть ограниченная область в удовлетворяющая в каждой граничной точке условию внешней сферы. Предположим, что функция вогнута (или выпукла) по совокупности переменных не возрастает по z и удовлетворяет структурным условиям (17.53). Тогда классическая задача Дирихле на однозначно разрешима в для любой

Доказательство. Сначала рассмотрим случай гладких граничных данных. Пусть с некоторым Учитывая замечания, предшествующие теореме, рассмотрим аппроксимирующие задачи Дирихле:

где функции определены в (17.57). Для применения метода продолжения по параметру (теорема 17.8) нам будет нужна априорная оценка в с некоторым решений задач

Уравнения (17.59) удовлетворяют условиям теоремы 17.4 равномерно по Следовательно, для любого решения и в произвольной области имеет место оценка где показатель а зависит только от а постоянная С зависит дополнительно от Так как вблизи то в силу лемммы 6.5 имеет место соответствующая глобальная оценка с с постоянной С, зависящей дополнительно от Заметим далее, что из двух условий следует неравенство (17.11) с постоянными так что по теореме 17.3 величина равномерно ограничена по Следовательно, по теореме 17.8

существует единственное решение задачи Дирихле (17.58). Так как при то в силу внутренней оценки (теорема 17.15) имеет место сходимость последовательности (равномерно на компактных подмножествах вместе с первыми и вторыми производными) к решению и уравнения Но, учитывая представление (17.10), к задаче Дирихле (17.58) можно применить барьерную технику, такую же, как для квазилинейных уравнений; в частности, можно применить теорему 14.15. В результате мы получим, что и на Обобщения на непрерывные и области удовлетворяющие условию внешней сферы, получаются аналогично.

С помощью аппроксимации условие может быть ослаблено в том смысле, что существование производных, входящих в структурные условия (17.53), требуется только в слабом смысле (см. задачу 17.4). Кроме того, незначительно обобщая предыдущие рассуждения, можно охватить и равномерно эллиптическое уравнение Беллмана (17.8). Действительно, необходимые модификации можно проиллюстрировать в более общей ситуации. Пусть операторы вида (17.1) и пусть вогнутая функция, производные которой удовлетворяют неравенствам

с некоторой постоянной К. Определим оператор формулой

Тогда если и и функции удовлетворяют условиям теоремы 17.14, то, дифференцируя, мы вместо (17.44) получаем уравнения

так что из вогнутости функции следует неравенство

Следовательно, здесь применимы рассуждения раздела 17.4 (надо вместо производных и рассматривать и . С помощью (17.60) получаем, в частности, что к оператору применима оценка теоремы 17.14, коль скоро операторы удовлетворяют структурным условиям, а числа заменяются на и соответственно. Теорема о разрешимости (теорема 17.17) обобщается аналогичным способом. Уравнения типа уравнений Беллмана — Пуччи могут

быть изучены с помощью аппроксимации. Именно, определим для

и для введем осреднение функции по формуле

где ядро осреднения на Так как функция вогнута, то, как легко увидеть, и функция является вогнутой. Кроме того, справедливо равенство и поэтому выполняется (17.60) с постоянной Отсюда следует, что если удовлетворяют условиям теоремы 17.17, то классическая задача Дирихле

однозначно разрешима, причем решение удовлетворяет оценке

где постоянные зависят только от и имеет место оценка модуля непрерывности на зависящая от тех же величин. В силу аппроксимации результат переносится на предельный случай так как предыдущие оценки не зависят от также и на случай счетного семейства операторов. Таким образом, мы приходим к следующему обобщению теоремы 17.17.

Теорема 17.18. Пусть ограниченная область в удовлетворяющая условию внешней сферы в каждой граничной точке. Предположим, что функции принадлежат вогнуты по переменным не возрастают по z и удовлетворяют равномерным структурным условиям (17.53). Тогда классическая задача Дирихле

однозначно разрешима в для любой

Отметим, что в теорему 17.18 включается уравнение Беллмана (17.8), если только множество индексов V счетно и операторы и функции удовлетворяют следующим условиям:

и

для всех где положительные постоянные. Более того, очевидно, допустимы некоторые типы несчетных множеств таких, например, как сепарабельное метрическое пространство, на котором отображения непрерывны в каждой точке . В частности, сюда включается уравнение Пуччи (17.6), если