17.5. Задача Дирихле для равномерно эллиптических уравнений
В этом разделе мы покажем, что наличие внутренних оценок производных, получаемых в предыдущем разделе, в действительности достаточно для того, чтобы доказать разрешимость задачи Дирихле для некоторых
типов равномерно эллиптических уравнений, включая уравнения типа уравнений Беллмана - Пуччи. Так как эти оценки были доказаны для решений класса
то нам сначала потребуется результат о регулярности, связывающий их с условиями метода продолжения по параметру, как того требует теорема 17.8.
Лемма 17.16. Пусть функция и
удовлетворяет в
уравнению
а оператор
эллиптичен на функции
. Тогда: если
то
для всех
если
Доказательство. Используем подобно тому, как это делалось при доказательстве теоремы 6.17, метод разностных отношений. Пусть
фиксированный координатный вектор,
Запишем
Зафиксируем подобласть
и возьмем достаточно малое А. Разностное отношение
удовлетворяет в
линейному уравнению
которое является эллиптическим и имеет равномерно непрерывные коэффициенты в
Из внутренних оценок в
(теорема 9.11) следуют не зависящие от А оценки для
где
и поэтому в силу леммы 7.24 функция и принадлежит
для любого
силу теоремы вложения Соболева (теорема 7.10) получаем, что и
для всех
Поэтому если
с некоторым
то мы можем к уравнению (17.56) применить результат о регулярности Шаудера (теорема 6.17). Получим, что и
. Отметим, что если бы мы сначала имели и
с некоторым
то для получения доказанного результата не нужны оценки в
Итак, лемма 17.6 доказана для
Доказательство большей внутренней гладкости получается теперь с помощью обычной итерационной или "bootstraping" процедуры.
С помощью леммы 17.16 доказывается, что оценки разделов 17.3 и 17.4 имеют место для решений уравнения (17.1) класса
Мы должны отметить, что в случае, рассмотренном в разделе 17.4, для проводимых доказательств достаточно предполагать, что
Отсутствие глобальных оценок в
можно компенсировать с помощью видоизменения функции
вблизи границы
следующим образом. Пусть
последовательность функций, принадлежащих
удовлетворяющих в
неравенствам
и таких, что
при
Вместо оператора
рассмотрим операторы
определенные формулами
Если оператор
удовлетворяет условиям теоремы 17.14 или теоремы 17.15, то этим же условиям удовлетворяют и операторы
со структурными постоянными, зависящими, быть может, от
. В итоге мы получим внутренние оценки в
решений уравнений
такого же вида, как и оценки теорем 17.14 и 17.15. Однако вблизи границы
Поэтому для достаточно гладких граничных значений оценки в
вблизи
получаются из теории Шаудера, в частности, из леммы 6.5. Используя описанную процедуру, докажем следующий результат о разрешимости.
Теорема 17.17. Пусть
ограниченная область в
удовлетворяющая в каждой граничной точке условию внешней сферы. Предположим, что функция
вогнута (или выпукла) по совокупности переменных
не возрастает по z и удовлетворяет структурным условиям (17.53). Тогда классическая задача Дирихле
на
однозначно разрешима в
для любой
Доказательство. Сначала рассмотрим случай гладких граничных данных. Пусть
с некоторым
Учитывая замечания, предшествующие теореме, рассмотрим аппроксимирующие задачи Дирихле:
где функции
определены в (17.57). Для применения метода продолжения по параметру (теорема 17.8) нам будет нужна априорная оценка в
с некоторым
решений задач
Уравнения (17.59) удовлетворяют условиям теоремы 17.4 равномерно по
Следовательно, для любого решения и
в произвольной области
имеет место оценка где показатель а зависит только от
а постоянная С зависит дополнительно от
Так как
вблизи
то в силу лемммы 6.5 имеет место соответствующая глобальная оценка с
с постоянной С, зависящей дополнительно от
Заметим далее, что из двух условий
следует неравенство (17.11) с постоянными
так что по теореме 17.3 величина
равномерно ограничена по
Следовательно, по теореме 17.8
существует единственное решение
задачи Дирихле (17.58). Так как
при
то в силу внутренней оценки (теорема 17.15) имеет место сходимость последовательности
(равномерно на компактных подмножествах
вместе с первыми и вторыми производными) к решению и
уравнения
Но, учитывая представление (17.10), к задаче Дирихле (17.58) можно применить барьерную технику, такую же, как для квазилинейных уравнений; в частности, можно применить теорему 14.15. В результате мы получим, что и
на
Обобщения на непрерывные
и области
удовлетворяющие условию внешней сферы, получаются аналогично.
С помощью аппроксимации условие
может быть ослаблено в том смысле, что существование производных, входящих в структурные условия (17.53), требуется только в слабом смысле (см. задачу 17.4). Кроме того, незначительно обобщая предыдущие рассуждения, можно охватить и равномерно эллиптическое уравнение Беллмана (17.8). Действительно, необходимые модификации можно проиллюстрировать в более общей ситуации. Пусть
операторы вида (17.1) и пусть
вогнутая функция, производные которой удовлетворяют неравенствам
с некоторой постоянной К. Определим оператор
формулой
Тогда если и
и функции
удовлетворяют условиям
теоремы 17.14, то, дифференцируя, мы вместо (17.44) получаем уравнения
так что из вогнутости функции
следует неравенство
Следовательно, здесь применимы рассуждения раздела 17.4 (надо вместо производных
и
рассматривать
и
. С помощью (17.60) получаем, в частности, что к оператору
применима оценка теоремы 17.14, коль скоро операторы
удовлетворяют структурным условиям, а числа
заменяются на
и
соответственно. Теорема о разрешимости (теорема 17.17) обобщается аналогичным способом. Уравнения типа уравнений Беллмана — Пуччи могут
быть изучены с помощью аппроксимации. Именно, определим для
и для
введем осреднение
функции
по формуле
где
ядро осреднения на
Так как функция
вогнута, то, как легко увидеть, и функция
является вогнутой. Кроме того, справедливо равенство
и поэтому выполняется (17.60) с постоянной
Отсюда следует, что если
удовлетворяют условиям теоремы 17.17, то классическая задача Дирихле
однозначно разрешима, причем решение
удовлетворяет оценке
где постоянные
зависят только от
и имеет место оценка модуля непрерывности на
зависящая от тех же величин. В силу аппроксимации результат переносится на предельный случай
так как предыдущие оценки не зависят от
также и на случай счетного семейства операторов. Таким образом, мы приходим к следующему обобщению теоремы 17.17.
Теорема 17.18. Пусть
ограниченная область в
удовлетворяющая условию внешней сферы в каждой граничной точке. Предположим, что функции
принадлежат
вогнуты по переменным
не возрастают по z и удовлетворяют равномерным структурным условиям (17.53). Тогда классическая задача Дирихле
однозначно разрешима в
для любой
Отметим, что в теорему 17.18 включается уравнение Беллмана (17.8), если только множество индексов V счетно и операторы
и функции
удовлетворяют следующим условиям:
и
для всех
где
положительные постоянные. Более того, очевидно, допустимы некоторые типы несчетных множеств
таких, например, как сепарабельное метрическое пространство, на котором отображения
непрерывны в каждой точке
. В частности, сюда включается уравнение Пуччи (17.6), если