11.2. Теорема Лере — Шаудера; специальный случай

Непрерывное отображение банахова пространства в банахово пространство называется компактным (или вполне непрерывным), если образы ограниченных множеств являются предкомпактными множествами (т.е. их замыкания являются компактными множествами). Из следствия 11.2 вытекает следующая теорема о неподвижной точке, наиболее часто применяемая в используемом нами методе изучения задачи Дирихле дня квазилинейных уравнений.

Теорема 11.3. Пусть компактное отображение банахова пространства в себя. Пусть существует постоянная такая, что для всех удовлетворяющих уравнению справедливо неравенство

Тогда отображение Тимеет неподвижную точку.

Доказательство. Мы можем без ограничения общности предполагать, что Определим отображение следующим образом:

Отображение является непрерывным отображением замкнутого единичного шара В из в себя. Так как множество предкомпактно, то таким же является и множество Поэтому в силу следствия 11.2 отображение имеет неподвижную точку Покажем, что точка х является неподвижной точкой отображения Чтобы убедиться в этом, предположим, что Тогда где поэтому Но это противоречит неравенству (11.2) с постоянной Следовательно, сделанное предположение неверно, т. е. Тогда

Замечание. Из теоремы 11.3 следует, что если отображение произвольное компактное отображение банахова пространства в себя (при этом неравенство (11.2) может иметь место, а может и не выполняться) то для некоторого отображение имеет неподвижную точку. Если, кроме того, справедлива оценка (11.2), то при каждом отображение а имеет неподвижную точку.

Покажем, как теорема 11.3 используется при изучении задачи Дирихле для квазилинейных уравнений. Фиксируем число Возьмем в качестве банахова пространства пространство Гёльдера , где ограниченная область в Пусть оператор вида

Предположим, что оператор эллиптичен в Это значит, что матрица коэффициентов положительно определена при всех Мы предположим также, что коэффициенты принадлежат где а - некоторое число из интервала граница принадлежит а функция у принадлежит Пусть произвольная функция из - единственное решение линейной задачи Дирихле

Это решение принадлежит Ясно, что и зависит от Таким образом определяется некоторый оператор на Однозначная разрешимость задачи (11.4) имеет место в силу теоремы существования для линейного уравнения (теорема 6.14). Мы видим, что разрешимость задачи Дирихле в пространстве эквивалентна разрешимости уравнения в банаховом пространстве Уравнение в 85 эквивалентно задаче Дирихле

С помощью теоремы 11.3 мы можем теперь доказать следующую теорему существования.

Теорема 11.4. Пусть ограниченная область в Предположим, что оператор эллиптичен в и что его коэффициенты принадлежат Пусть Тогда задача Дирихле разрешима в пространстве если для некоторого существует постоянная не зависящая от , такая, что любое решение класса задачи Дирихле на удовлетворяет неравенству

Доказательство. Для доказательства утверждения теоремы достаточно, очевидно, проверить, что оператор определенный выше, непрерывен и компактен. В силу глобальной оценки Шаудера (теорема 6.6) оператор отображает ограниченные в множества в ограниченные в множества, а они (по теореме Арцела) являются предкомпактными множествами и в Для доказательства

непрерывности возьмем последовательность сходящуюся Тогда, поскольку последовательность предкомпактна в любая подпоследовательность, в свою очередь, содержит сходящуюся подпоследовательность. Пусть такая подпоследовательность, сходящаяся к Тогда, так как

мы должны иметь равенство из которого следует, что последовательность сама сходится к и.