5.5. Гильбертовы пространства
Мы изложим здесь теорию гильбертовых пространств, которая потребуется в гл. 8 для исследования линейных эллиптических уравнений. Скалярное (или внутреннее) произведение на линейном пространстве V есть отображение 
(далее мы пишем 
или 
удовлетворяющее аксиомам: 
всех 
Линейное пространство V, снабженное скалярным произведением, назьюается пространством со скалярным произведением или предгильбертовым пространством. Обозначая 
для 
мы имеем следующие неравенства: неравенство Шварца
неравенство треугольника
и равенство параллелограмма
В частности, пространство 
скалярным произведением является нормированным линейным пространством. Гильбертово пространство определяется как полное пространство со скалярным произведением.
Примеры, (i) Евклидово пространство 
есть гильбертово пространство со скалярным произведением
(ii) Пространства Соболева 
(см. гл. 7).
