4.2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона

Мы покажем, что в ограниченной области классическая задача Дирихле для уравнения Пуассона с ограниченной и непрерывной по Гёльдеру правой частью разрешима при тех же самых условиях на границу, при которых разрешима задача Дирихле для уравнения Лапласа (теорема 2.14). Прежде всего, приведем некоторые результаты о дифференцируемости ньютонова потенциала в ограниченной области.

В дальнейшем оператор всегда действует по переменной

Лемма 4.1. Пусть функция ограничена и интегрируема в О. и пусть ньютонов потенциал с плотностью Тогда и для всех

Доказательство. В силу оценки (2.14) для функция

определена для всех Чтобы доказать, что зафиксируем функцию 17 из удовлетворяющую условиям

и определим для функцию

Ясно, что

так что

Следовательно, и сходятся при соответственно равномерно на компактных подмножествах Поэтому

Лемма 4.2. Пусть ограничена и локально непрерывна по Гельдеру (с показателем на О, и пусть ньютонов потенциал с плотностью Тогда и для всех

Здесь о - любая содержащая область, для которой применима теорема о дивергенции, а функция продолжается нулем вне

Доказательство. В силу оценки (2.14) для и поточечной непрерывности по Гельдеру функции на функция

определена для всех Пусть Для определим

где функция, введенная в доказательстве предыдущей леммы. Ясно, что Дифференцируя и считая число достаточно малым,

получаем

откуда при условии имеем

Поэтому равномерно на компактных подмножествах сходится к при . А так как сходится равномерно к на то получаем, что Наконец, полагая в для достаточно больших имеем

Таким образом, лемма 4.2 доказана.

Из лемм 4.1 и 4.2 и теоремы мы можем теперь вывести следующее утверждение.

Теорема 4.3. Пусть О, - ограниченная область. Предположим, что все точки границы регулярны (по отношению к оператору Лапласа). Тогда если функция ограничена и локально непрерывна по Гёльдеру в то классическая задача Дирихле на однозначно разрешима для любой непрерывной граничной функции

Доказательство. Обозначим через ньютонов потенциал с плотностью и положим Тогда задача над эквивалентна задаче на однозначная разрешимость которой имеет место в силу теоремы 2.14.

В случае, когда есть шар, теорема 4.3 следует из интегральной формулы Пуассона (теорема 2.6) и лемм 4.1 и 4.2. Кроме того, в этом случае мы имеем явную формулу для решения

где К - ядро Пуассона (229), функция Грина (2,23),