получаем
откуда при условии
имеем
Поэтому
равномерно на компактных подмножествах
сходится к
при
. А так как
сходится равномерно к
на
то получаем, что
Наконец, полагая в
для достаточно больших
имеем
Таким образом, лемма 4.2 доказана.
Из лемм 4.1 и 4.2 и теоремы
мы можем теперь вывести следующее утверждение.
Теорема 4.3. Пусть О, - ограниченная область. Предположим, что все точки границы
регулярны (по отношению к оператору Лапласа). Тогда если функция
ограничена и локально непрерывна по Гёльдеру в
то классическая задача Дирихле
на
однозначно разрешима для любой непрерывной граничной функции
Доказательство. Обозначим через
ньютонов потенциал с плотностью
и положим
Тогда задача
над
эквивалентна задаче
на
однозначная разрешимость которой имеет место в силу теоремы 2.14.
В случае, когда
есть шар,
теорема 4.3 следует из интегральной формулы Пуассона (теорема 2.6) и лемм 4.1 и 4.2. Кроме того, в этом случае мы имеем явную формулу для решения
где К - ядро Пуассона (229),
функция Грина (2,23),