5.9. Альтернатива Фредгольма в гильбертовых пространствах
Теоремы 5.3 и 5.5, в частности, применимы к компактным операторам в гильбертовых пространствах. Сейчас мы для случая гильбертовых пространств докажем сформулированные выше в банаховых пространствах утверждения о сопряженных операторах. Теорема 5.7 позволяет смотреть на сопряженное отображение несколько иначе. Если 
ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве К, то сопряженный к нему оператор 
является ограниченным линейным оператором в 
определяемым следующим равенством:
Лемма 5.9. Если 
компактный оператор, то 
также компактный оператор.
Доказательство. Пусть 
последовательность элементов 
удовлетворяющих неравенству 
Тогда
т.е. 
что означает ограниченность последовательности 
Следовательно, поскольку оператор 
компактный, выбирая, если в этом есть необходимость, подпоследовательность и обозначая ее также через 
мы можем считать, что последовательность 
сходится. Но тогда
Так как 
полное пространство, то последовательность 
сходится и, следовательно, 
компактный оператор. 
является ортогональным дополнением нуль-пространства оператора 
область значений оператора 
нуль-пространство оператора 
Если 
то мы имеем 
замкнуто, то и 
Предположим теперь, что 
По теореме о проекции (теорема 5.7) 
где 
. А так как 
дня всех 
что означает 
или нет. Объединяя леммы 5.9 и 5.10 с теоремами 5.3 и 5.5, можно доказать альтернативу Фредгольма для компактных операторов в гильбертовых пространствах в следующем виде.
гильбертово пространство 
компактное отображение 
в себя. Тогда существует такое не более чем счетное множество 
имеющее отличных от нуля предельных точек, что если 
и 
уравнения
для всех 
, и обратные операторы 
ограничены. Если 
то нуль-пространства операторов 
имеют положительные конечные размерности и уравнения (5.13) разрешимы тогда и только тогда, когда элемент у ортогонален нуль-пространству оператора 
в первом случае, и нуль-пространству оператора 
во втором.