5.9. Альтернатива Фредгольма в гильбертовых пространствах
Теоремы 5.3 и 5.5, в частности, применимы к компактным операторам в гильбертовых пространствах. Сейчас мы для случая гильбертовых пространств докажем сформулированные выше в банаховых пространствах утверждения о сопряженных операторах. Теорема 5.7 позволяет смотреть на сопряженное отображение несколько иначе. Если
ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве К, то сопряженный к нему оператор
является ограниченным линейным оператором в
определяемым следующим равенством:
Лемма 5.9. Если
компактный оператор, то
также компактный оператор.
Доказательство. Пусть
последовательность элементов
удовлетворяющих неравенству
Тогда
т.е.
что означает ограниченность последовательности
Следовательно, поскольку оператор
компактный, выбирая, если в этом есть необходимость, подпоследовательность и обозначая ее также через
мы можем считать, что последовательность
сходится. Но тогда
Так как
полное пространство, то последовательность
сходится и, следовательно,
компактный оператор.