9.6. Задача Дирихле

Основным утверждением этого раздела является следующая теорема существования и единственности сильных решений задачи Дирихле.

Теорема 9.15. Пусть область в класса Пусть оператор строго эллиптичен в Тогда если где то задача Дирихле имеет единственное решение и

Доказательство. Существуют различные способы доказательства теоремы 9.15 на основе теорем существования, полученных в гл. 4, 6 и 8. Например, при она может быть получена как из теоремь! 6.14 или из теоремы 8.14 с помощью соответствующей аппроксимации (задача 9.6), так и из утверждения для уравнения Пуассона с помощью метода продолжения по параметру (задача 9.7). Используемый здесь подход основан на теоремах существования в случае теоремы 8.9 и теоремы 8.12, которые утверждают разрешимость рассмотренной задачи при сильных условиях на коэффициенты. Нам потребуется следующий результат о регулярности, являющийся уточнением теорем 9.11 и 9.13.

Лемма 9.16. Дополнительно к условиям теоремы 9.13 предположим, что при некотором Тогда решение и принадлежит на в смысле следовательно, справедлива оценка (9.42), в которой величина заменена на

Доказательство. Рассмотрим сначала случай внутренних оценок, т. е. случай, когда пусто. Как и в доказательстве теоремы 9.11, зафиксируем шар и возьмем срезающую функцию такую же, что и в доказательстве теоремы 9.11. Положим

Так как то из теоремы вложения Соболева следует, что где . С помощью линейного преобразования диагонализируем матрицу При этом оператор преобразуется в лапласиан и поэтому

где функции, получившиеся из функций соответственно при преобразовании Вычислив ньютонов потенциал от левой и правой частей, получаем уравнение

Следовательно, функция удовлетворяет уравнению вида

в котором является линейным отображением в себя при любом ограниченным в силу неравенства Кальдерона-Зигмунда (теорема 9.9), Если, как и в доказательстве теоремы то будет выполнено неравенство II Тогда из принципа сжимающих отображений (теорема 5.1) следует, что уравнение (9.45) имеет единственное решение при любомр Следовательно, функция принадлежит и, так как произвольная точка области получаем, что и Если то утверждение доказано. В остальных случаях требуемая внутренняя гладкость получается с помощью теоремы вложения Соболева и повторения предыдущего доказательства. Гладкость решения вблизи границы устанавливается аналогично: в доказательстве теоремы 9.13 следует взять и шар заменить на полушар

Доказательство единственности в теореме 9.15 следует из леммы 9.16. Если оператор удовлетворяет условиям теоремы функции удовлетворяют условиям то по лемме для всех Используя единственность решения (теорема 9.5) и теорему вложения Соболева (теорема 7.10), получаем, что Из единственности получаем также априорную оценку, обобщающую теорему 9.14.

Лемма 9.17. Пусть оператор удовлетворяет условиям теоремы 9.15. Тогда существует постоянная зависящая от и) такая, что

Доказательство. Предположим, что (9.46) не верно. Это значит, что существует последовательность функций удовлетворяющих условиям . В силу априорной оценки (теорема 9.13) из компактности вложения и слабой компактности ограниченных множеств в (задача 5.5) следует, что существует подпоследовательность последовательности которую мы обозначим также через слабо

сходящаяся к функции для которой Так как для всех и всех то получаем, что для всех Следовательно, и в силу теоремы единственности а это противоречит условию

Теперь мы можем доказать теорему 9.15. Прежде всего заметим, что если старшие коэффициенты принадлежат то утверждение теоремы непосредственно следует из теорем 8.9 и 8.12 и леммы 9.16. В общем случае мы заменяем и на чтобы получить нулевые граничные условия, равномерно аппроксимируем коэффициенты последовательностями а в случае и функцию последовательностью в метрике Обозначим через последовательность решений соответствующих задач Дирихле. Из леммы 9.17 вытекает, что последовательность ограничена в Следовательно, снова в силу результата задачи 5.5 некоторая ее подпоследовательность будет слабо сходиться в к функции удовлетворяющей в уравнению Последний факт устанавливается рассуждениями, аналогичными рассуждениям из доказательства леммы 9.17.

Теорема 9.15 может быть получена также и из альтернативы Фредгольма, следующей из замечания 9.14 (задача 9.9). При мы получаем теорему существования для непрерывных граничных значений.

Следствие 9.18. Пусть область в класса и пусть оператор строго эллиптичен в коэффициенты Тогда если то задача Дирихле на имеет единственное решение и

Доказательство, Единственность решения следует из теоремы 9.5 и леммы 9.6 (в действительности она, очевидно, имеет место для любой и любого Чтобы доказать существование решения, возьмем последовательность сходящуюся равномерно на к функции Пусть решение задачи Дирихле Это решение существует в силу теоремы 9.15. Разность удовлетворяет соотношениям

Отсюда в силу теорем 9.1 и 9.11 следует, что последовательность сходится в к решению и задачи Дирихле на Используя технику барьеров, аналогичную технике гл. 6, можно обобщить следствие 9.18 на более широкий класс областей. Результат такого типа мы получим в разделе 9.7 в связи с установлением непрерывности вплоть до границы.

В заключение этого раздела мы сформулируем теорему о гладкости более высокого порядка, обобщающую теоремы 6.17 и 6.19 для

классических решений. Доказательство может быть получено с помощью разностных отношений подобно тому, как это осуществлялось в указанных теоремах; можно применить также рассуждения, аналогичные рассуждениям доказательства леммы 9.16. Детали доказательства оставляем рассмотреть читателю (задача 9.10).

Теорема 9.19. Пусть функция и из является решением в эллиптического уравнения коэффициенты которого принадлежат а правая часть принадлежит причем

Тогда функция и принадлежит Более того, если принадлежит классу , а оператор строго эллиптичен в и его коэффициенты принадлежат а правая часть принадлежит то и принадлежит