2.4. Представление Грина

Прежде чем перейти к изучению вопроса о существовании решений, получим некоторые следствия теоремы о дивергенции, а именно тождества Грина.

Пусть — область, к которой применима теорема о дивергенции, и пусть и - функции из Подставляя в тождество (2,3),

получим первое тождество Грина

Меняя в (2,10) функции и и местами и вычитая получающееся тождество из , получаем второе тождество Грина

Уравнение Лапласа имеет радиально-симметричное решение для дня где расстояние до фиксированной точки. Фиксируем точку , и введем нормированное фундаментальное решение уравнения Лапласа

Простые вычисления показывают, что

Очевидно, что функция гармонична при Для дальнейших целей мы отметим следующие оценки производных:

Особенность в точке не позволяет использовать функцию вместо во втором тождестве Грина (2.11). Однако эту трудность можно обойти, заменив 12 на где шар достаточно малого радиуса Формула (2.11) тогда принимает вид

Далее,

при

и

(заметим, что есть внешняя нормаль к

псопрп

Отсюда, устремляя в к нулю, получаем формулу

дающую представление произвольной функции и через и значения — на Будем называть ее представлением Грина. Для интегрируемой функции интеграл называется ньютоновым потенциалом с плотностью Если и имеет компактный носитель в из (2.16) следует часто используемая формула

Для гармонической функции и мы имеем также представление

Так как в этом равенстве подынтегральные функции являются бесконечно дифференцируемыми и, более того, аналитическими по у, то из представления (2.18) следует, что и также аналитична в 12. Таким образом, гармонические функции аналитичны всюду в своей области определения и, следовательно, однозначно определяются своими значениями на любом открытом подмножестве области определения.

Предположим теперь, что функция удовлетворяет уравнению Тогда, используя второе тождество Грина (2.11), получаем

Обозначая и складывая (2.16) и (2.19), получаем более общее представление Грина

Если дополнительно на то

Такая функция назьюается функцией Грина (задачи Дирихле) для области 12. Иногда ее также называют функцией Грина первого рода для 12. Из теоремы 2.4 следует единственность функции Грина. Существование функции Грина влечет возможность представления формулой (2.21) любой гармонической функции из через ее граничные значения.