равенствами
Операторы вполне нелинейны. Они связаны друг с другом соотношением
Несложное вычисление показывает, что
где
минимальное и соответственно максимальное собственные значения матрицы
. В области
можно рассматривать экстремальные уравнения
где
заданная функция. Хотя функции
не дифференцируемы, понятие эллиптичности легко обобщается таким образом, чтобы был охвачен и этот случай. Уравнения (17.6) оказываются в действительности равномерно эллиптическими (см. далее).
(iv) Уравнение Беллмана. Если семейство
из предыдущего примера заменить на произвольное семейство «С линейных операторов, мы получим уравнение Беллмана для оптимальной стоимости в стохастической задаче контроля (см. [132]). Пусть, например, семейство
зависит от параметра
изменяющегося на множестве
Предположим, что каждый оператор
имеет вид
где
вещественные функции на
Пусть для каждого
функция
вещественна на
Уравнение Беллмана в этом случае имеет вид
Существуют различные способы обобщения понятия эллиптичности на случай недифференцируемой функции
например с помощью монотонности или аппроксимации (см. задачу 17.1). Для наших целей достаточно иметь обобщение на случай, когда функция
непрерывна по Липшицу по переменным
Мы будем называть оператор
эллиптическим в подмножестве
множества
если матрица
в случае ее существования в точке является положительно определенной. Эллиптический оператор
будем назьюать равномерно эллиптическим в если отношение
максимального собственного значения А к минимальному собственному значению X ограничено в Отметим, что матрица
существет для почти всех
Согласно сделанным определениям уравнение Беллмана (17.8) эллиптично в
если для каждых
выполнены неравенства
для всех
где
функции, положительные в
Кроме того, уравнение Беллмана равномерно эллиптично в
если отношение