ГЛАВА 17. ВПОЛНЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В этой главе мы исследуем разрешимость классичесской задачи Дирихле для некоторых типов вполне нелинейных эллиптических уравнений, т. е. нелинейных эллиптических уравнений, не являющихся квазилинейными. Общее уравнение второго порядка, рассматриваемое в области пространства можно записать в виде

где вещественная функция, определенная на множестве где -мерное пространство вещественных симметричных матриц. Точки множества мы будем обозначать греческими буквами: где . В случае, когда функция линейная функция переменных уравнение (17.1) является квазилинейным; в противном случае оно называется вполне нелинейным. Следующие определения, обобщающие соответствующие

определения гл. 10, делаются в предположении, что функция дифференцируема по

Оператор называется эллиптическим на подмножестве если матрица с элементами

положительно определена при всех Обозначим через минимальное и соответственно максимальное собственные значения матрицы Будем назьгоать оператор равномерно эллиптическим (строго эллиптическим) в если отношение (отношение ограничено в Если оператор эллиптичен (равномерно эллиптичен, строго эллиптичен) на всем то мы будем просто говорить, что оператор эллиптичен (равномерно эллиптичен строго эллиптичен) в области Пусть и Если оператор эллиптичен (равномерно эллиптичен, строго эллиптичен) на области значений отображениях то мы будем говорить, что оператор эллиптичен (равномерно эллиптичен, строго эллиптичен) на функции .

Примеры. (i) Уравнение Монжа-Ампера

В этом случае алгебраическое дополнение гц и оператор эллиптичен только для положительно определенных . Согласно определению уравнение (17.2) эллиптично только на таких функциях и которые равномерно выпуклы во всех точках Для существования такого решения функция должна быть положительной.

(ii) Уравнение поверхностей с заданной гауссовой кривизной.

Пусть функция и Предположим, что график функции и имеет гауссову кривизну в точке . В этом случае (см. раздел 14.6) функция и удовлетворяет уравнению

которое будет эллиптическим только для равномерно выпуклых функций Примеры можно объединить в семейство уравнений типа уравнения Монжа-Ампера вида

где положительная функция на

Уравнение Пуччи.

Пусть множество линейных равномерно эллиптических операторов вида

с ограниченными измеримыми коэффициентами такими, что выполняются неравенство для всех и равенство Максимальный и минимальный операторы и определяются

равенствами

Операторы вполне нелинейны. Они связаны друг с другом соотношением Несложное вычисление показывает, что

где минимальное и соответственно максимальное собственные значения матрицы . В области можно рассматривать экстремальные уравнения

где заданная функция. Хотя функции не дифференцируемы, понятие эллиптичности легко обобщается таким образом, чтобы был охвачен и этот случай. Уравнения (17.6) оказываются в действительности равномерно эллиптическими (см. далее).

(iv) Уравнение Беллмана. Если семейство из предыдущего примера заменить на произвольное семейство «С линейных операторов, мы получим уравнение Беллмана для оптимальной стоимости в стохастической задаче контроля (см. [132]). Пусть, например, семейство зависит от параметра изменяющегося на множестве Предположим, что каждый оператор имеет вид

где вещественные функции на Пусть для каждого функция вещественна на Уравнение Беллмана в этом случае имеет вид

Существуют различные способы обобщения понятия эллиптичности на случай недифференцируемой функции например с помощью монотонности или аппроксимации (см. задачу 17.1). Для наших целей достаточно иметь обобщение на случай, когда функция непрерывна по Липшицу по переменным Мы будем называть оператор эллиптическим в подмножестве множества если матрица в случае ее существования в точке является положительно определенной. Эллиптический оператор будем назьюать равномерно эллиптическим в если отношение максимального собственного значения А к минимальному собственному значению X ограничено в Отметим, что матрица существет для почти всех Согласно сделанным определениям уравнение Беллмана (17.8) эллиптично в если для каждых выполнены неравенства

для всех где функции, положительные в Кроме того, уравнение Беллмана равномерно эллиптично в если отношение