ГЛАВА 3. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА
Целью этой главы является обобщение классического принципа максимума, установленного в гл. 2 для оператора Лапласа, на линейные эллиптические операторы вида
точка
лежит в области 12 пространства
Будем предполагать, если нет особых оговорок, что функция и принадлежит
Здесь и всюду далее считаем, что по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до
Через
будем всюду обозначать оператор, определенный равенством (3.1).
Примем следующие определения.
Оператор
называется эллиптическим в точке
если матрица старших коэффициентов
положительна; это означает, что наименьшее собственное число матрицы
(обозначим его через
положительно. Если
есть наибольшее собственное число матрицы
то справедливы неравенства
для всех
Если
в
, то оператор
называется эллиптическим в
. Если же
где
постоянная, то оператор
называется строго эллиптическим в
. Оператор
будем называть равномерно эллиптическим в
, если отношение
ограничено в
. Так, оператор
эллиптичен, но неравномерно эллиптичен в полуплоскосги
этот же оператор равномерно эллиптичен в полосе вида
Большая часть результатов, относящихся к эллиптическим операторам вида (3.1), требует дополнительных условий, ограничивающих влияние подчиненных слагаемых вида
по сравнению с главной частью
Всюду в этой главе мы будем предполагать выполненным условие
Рассматривая вместо
оператор
мы можем считать
ограниченными функциями. Если, дополнительно, оператор
равномерно эллиптичен, то мы можем также считать, что и коэффициенты
ограничены. Заметим, что если коэффициенты
эллиптического оператора
непрерывны в 12, то в любой подобласти
он равномерно эллиптичен и выполнено условие (3.3). На коэффициент с также будем накладывать некоторые ограничения, однако они будут различного характера и поэтому будут указываться в соответствующих условиях.
Принцип максимума является важной характерной чертой эллиптических уравнений второго порядка, отличающей их от уравнений высокого порядка и от систем уравнений. Помимо других многочисленных применений принцип максимума используется для получения поточечных оценок, что приводит к созданию более развитой теории, нежели это было бы доступно иным способом. Большинство результатов этой главы основывается исключительно на эллиптичности оператора
а не на каких-то других специальных свойствах его коэффициентов (таких, как гладкость). Именно такая общность делает возможным использование принципа максимума для получения априорных оценок, особенно в нелинейных задачах.