ГЛАВА 3. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА

Целью этой главы является обобщение классического принципа максимума, установленного в гл. 2 для оператора Лапласа, на линейные эллиптические операторы вида

точка лежит в области 12 пространства Будем предполагать, если нет особых оговорок, что функция и принадлежит Здесь и всюду далее считаем, что по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до Через будем всюду обозначать оператор, определенный равенством (3.1).

Примем следующие определения.

Оператор называется эллиптическим в точке если матрица старших коэффициентов положительна; это означает, что наименьшее собственное число матрицы (обозначим его через положительно. Если есть наибольшее собственное число матрицы то справедливы неравенства

для всех Если в , то оператор называется эллиптическим в . Если же где постоянная, то оператор называется строго эллиптическим в . Оператор будем называть равномерно эллиптическим в , если отношение ограничено в . Так, оператор эллиптичен, но неравномерно эллиптичен в полуплоскосги этот же оператор равномерно эллиптичен в полосе вида

Большая часть результатов, относящихся к эллиптическим операторам вида (3.1), требует дополнительных условий, ограничивающих влияние подчиненных слагаемых вида по сравнению с главной частью

Всюду в этой главе мы будем предполагать выполненным условие

Рассматривая вместо оператор мы можем считать ограниченными функциями. Если, дополнительно, оператор равномерно эллиптичен, то мы можем также считать, что и коэффициенты ограничены. Заметим, что если коэффициенты эллиптического оператора непрерывны в 12, то в любой подобласти он равномерно эллиптичен и выполнено условие (3.3). На коэффициент с также будем накладывать некоторые ограничения, однако они будут различного характера и поэтому будут указываться в соответствующих условиях.

Принцип максимума является важной характерной чертой эллиптических уравнений второго порядка, отличающей их от уравнений высокого порядка и от систем уравнений. Помимо других многочисленных применений принцип максимума используется для получения поточечных оценок, что приводит к созданию более развитой теории, нежели это было бы доступно иным способом. Большинство результатов этой главы основывается исключительно на эллиптичности оператора а не на каких-то других специальных свойствах его коэффициентов (таких, как гладкость). Именно такая общность делает возможным использование принципа максимума для получения априорных оценок, особенно в нелинейных задачах.