5.7. Теорема представления Рисса

Теорема представления Рисса дает чрезвычайно полезное описание ограниченных линейных функционалов на гильбертовом пространстве через скалярное произведение.

Теорема 5.7. Для любого ограниченного линейного функционала на гильбертовом пространстве существует единственный элемент такой, что для всех при этом

Доказательство. Пусть есть нуль-пространство функционала Если то доказываемое представление справедливо с Пусть Тогда, так как замкнутое подпространство по теореме 5.6 существует такой элемент что для

всех . Следовательно, , и кроме того, для

Поэтому Это означает, что т. е. а следовательно, где

Единственность элемента доказьшается несложно, и мы оставляем доказательство этого утверждения читателю. Чтобы показать, что мы, во-первых, заметим, что по неравенству Шварца

а во-вторых, что

и следовательно, Таким образом,

Теорема 5.7 показьюает, что пространство сопряженное гильбертову пространству, может быть отождествлено с ним самим и, следовательно, гильбертовы пространства рефлексивны.