7.3. Слабые производные

Пусть функция и локально интегрируема на произвольный мультииндекс. Локально интегрируемая функция называется слабой производной функции и, если для всех функций выполняется равенство

В этом случае мы пишем Подчеркнем, что призводная определена с точностью до значений на множестве меры нуль. Поточечные соотношения, включающие в себя слабые производные, будем всегда понимать выполняющимися почти всюду. Функцию, имеющую все слабые производные первого порядка, будем называть слабо дифференцируемой. Функцию, имеющую все слабые производные до порядка к включительно, будем называть к раз слабо дифференцируемой. Линейное пространство к раз слабо дифференцируемых функций будем обозначать через Ясно, что Понятие слабой дифференцируемости является обобщением понятия классической дифференцируемости, что легко устанавливается с помощью интегрирования по частям (формула

Перейдем к рассмотрению основных свойств слабо дифференцируемых функций. Первая лемма описывает связь слабых производных и осреднений.

Лемма 7.3. Пусть и мультииндекс. Предположим, что существует Тогда при выполнении условия справедливо равенство

Доказательство. Дифференцируя под знаком интеграла и используя (7,16), получаем

Из лемм 7.1, 7.3 и определения (7.16) автоматически следует основная теорема об аппроксимации слабых производных, доказательство которой мы оставляем читателю.

Теорема 7,4. Локально интегрируемая функция является слабой производной локально интегрируемой функции тогда и только тогда, когдя существует последовательность функций из сходящаяся к и в производные которых сходятся

Это эквивалентное описание слабых производных можно использовать как их определение. Производные, получающиеся при таком определении, обычно называют сильными производными. Теорема 7,4 утверждает, что понятия слабых и сильных производных совпадают. Благодаря теореме 7,4 многие результаты классического дифференциального исчисления могут быть с помощью аппроксимаций перенесены на слабые, производные, В частности, справедлива формула дифференцирования произведения двух функций

для всех таких; что (см, задачу 7.4), Аналогично, если функция отображает область на область и если и то и применима обычная формула замены переменных, т.е.

для почти всех (см, задачу 7,5).

Важно отметить, что локально равномерно непрерывная по Липшицу функция слабо дифференцируема, т. е. Это утверждение следует из того, что функции из пространства абсолютно непрерывны на каждом прямолинейном отрезке, лежащем в Следовательно, их частные производные (существующие почти всюду) удовлетворяют соотношению (7,1), а поэтому почти всюду совпадают со слабыми производными. С помощью осреднений можно в действительности доказать больше: функция слабо дифференцируема тогда и только тогда, когда она эквивалентна абсолютно непрерывной на почти всех лежащих в и параллельных координатным осям отрезкам функции, частные производные

которой локально интегрируемы (см. задачу 7.8). Основные свойства слабого дифференцирования, о которых говорится в этом и следующем разделах, могут быть также выведены и из этого свойства.