4.5. Оценки Гёльдера первых производных
Нередко возникает потребность рассматривать уравнение Пуассона, в котором правая часть является дивергенцией некоторого векторного поля
Соответствующие оценки решений могут быть сведены к аналогичным оценкам, установленным в предыдущем разделе, но при этом можно получить и некоторые обобщения, которые будут полезны далее.
Если 
то, конечно, справедливы установленные ранее оценки ньютонова потенциала с плотностью 
и решений уравнения (4.33), в которых функция 
всюду заменяется на 
Если граница 
является достаточно гладкой, то
и поэтому ньютонов потенциал с плотностью 
является суммой гармонической функции и функции, заданной равенством
Это выражение совпадает с ньютоновым потенциалом, если вектор 
имеет компактный носитель в 
Мы видим, что 
определяется при 
только интегрируемой в 
в этом случае за определение обобщенного ньютонова потенциала с плотностью 
можно взять соотношение (4.34). Если, кроме того, вектор 
непрерывен по Гёльдеру, то первые производные 
(по лемме 4.2) задаются равенствами
и могут быть оценены, как в лемме 4.4. Таким образом, используя обозначения леммы 4.4, можем записать, что
Поэтому можно утверждать справедливость внутренних оценок в 
Теорема 4.15. Пусть 
область в 
и пусть функция и удовлетворяет уравнению Пуассона (4.33) с правой частью 
Тогда для любых двух концентрических шаров 
имеет место оценка вида
Доказательство этого утверждения — такое же, как и доказательство теоремы 4.6, если в нем оценку (4.11) заменить оценкой (4.36).
Аналогично можно получить и оценки вплоть до границы. Если 
такие же, как и в лемме 4.10, то потенциал (4.34) имеет первые производные, определяемые формулами (4.35) с 
и справедлива
оценка
Чтобы получить аналог теоремы 4.11 для норм в 
решений уравнения (4.33), обращающихся в нуль на гиперплоскости 
используем, как и в теореме 4.11, метод отражения. Пусть
функция Грина в полупространстве 
рассмотрим функцию
Для каждого 
обозначим через 
слагаемые 
определенные равенствами
Видно, что 
обращаются в нуль на 
Предположим теперь, что 
и продолжим 
нечетным образом через плоскость 
Продолженную функцию обозначим снова через 
. Тогда для 
мы получаем, как и в доказательстве теоремы 4.11, равенства
А при 
поскольку
получаем
Теперь из оценок (4.36) и (4.38), примененных к (4.40) и (4.41), следует
Теорема 4.16. Пусть функция и 
удовлетворяет уравнению Пуассона (4.33) с правой частью 
и пусть 
на 
Тогда
Доказательство получается из (4.42) с помощью рассуждений, аналогичных заключительным рассуждениям доказательства теоремы 4.11.
Можно получить и аналоги теорем 4.3, 4.13 и следствия 4.14 для решений уравнения (4.33). Предоставляем это сделать читателю.
Предыдущие результаты могут быть обобщены на уравнения вида
где 
непрерывна по Гельдеру, 
ограничена и интегрируема. Подчеркнем, что первые производные ньютонова потенциала удовлетворяют оценкам Гёльдера с произвольным показателем 
задачу 4.8 а), а также теорему 3.9). Из этих оценок для ньютонова потенциала следует, что аналогичные (4.37) и (4.34) оценки в 
решений уравнения (4.44) имеют вид
где 
Замечание. Если 
где 
, то слагаемые, содержащие 
в правой части в (4.45), (4.46), могут быть заменены на 
(см. задачу 
Примечания
Содержащиеся в этой главе оценки Гельдера в основном получены Корном [128].
В лемме 4.2 непрерывность по Гельдеру может быть заменена условием Дини; а именно, ньютонов потенциал с плотностью 
является решением класса 
уравнения Ли 
если
где 
(см. задачу 4.2). Однако если 
только непрерывна, то ньютонов потенциал может не быть дважды дифференцируемым (см. задачу 4.9).
Весовые внутренние нормы и полунормы (4.17), (4.29) мы использовали, следуя Дуглису и Ниренбергу [92]. Основной целью использования частично внутренних норм и полунорм (4.29) является упрощение процедуры получения граничных оценок с помощью непосредствершой имитации вывода внутренних оценок (см., например, теорему 4.12 и лемму 6.4).
Задачи
(см. скан)
