4.5. Оценки Гёльдера первых производных
Нередко возникает потребность рассматривать уравнение Пуассона, в котором правая часть является дивергенцией некоторого векторного поля
Соответствующие оценки решений могут быть сведены к аналогичным оценкам, установленным в предыдущем разделе, но при этом можно получить и некоторые обобщения, которые будут полезны далее.
Если
то, конечно, справедливы установленные ранее оценки ньютонова потенциала с плотностью
и решений уравнения (4.33), в которых функция
всюду заменяется на
Если граница
является достаточно гладкой, то
и поэтому ньютонов потенциал с плотностью
является суммой гармонической функции и функции, заданной равенством
Это выражение совпадает с ньютоновым потенциалом, если вектор
имеет компактный носитель в
Мы видим, что
определяется при
только интегрируемой в
в этом случае за определение обобщенного ньютонова потенциала с плотностью
можно взять соотношение (4.34). Если, кроме того, вектор
непрерывен по Гёльдеру, то первые производные
(по лемме 4.2) задаются равенствами
и могут быть оценены, как в лемме 4.4. Таким образом, используя обозначения леммы 4.4, можем записать, что
Поэтому можно утверждать справедливость внутренних оценок в
Теорема 4.15. Пусть
область в
и пусть функция и удовлетворяет уравнению Пуассона (4.33) с правой частью
Тогда для любых двух концентрических шаров
имеет место оценка вида
Доказательство этого утверждения — такое же, как и доказательство теоремы 4.6, если в нем оценку (4.11) заменить оценкой (4.36).
Аналогично можно получить и оценки вплоть до границы. Если
такие же, как и в лемме 4.10, то потенциал (4.34) имеет первые производные, определяемые формулами (4.35) с
и справедлива
оценка
Чтобы получить аналог теоремы 4.11 для норм в
решений уравнения (4.33), обращающихся в нуль на гиперплоскости
используем, как и в теореме 4.11, метод отражения. Пусть
функция Грина в полупространстве
рассмотрим функцию
Для каждого
обозначим через
слагаемые
определенные равенствами
Видно, что
обращаются в нуль на
Предположим теперь, что
и продолжим
нечетным образом через плоскость
Продолженную функцию обозначим снова через
. Тогда для
мы получаем, как и в доказательстве теоремы 4.11, равенства
А при
поскольку
получаем
Теперь из оценок (4.36) и (4.38), примененных к (4.40) и (4.41), следует
Теорема 4.16. Пусть функция и
удовлетворяет уравнению Пуассона (4.33) с правой частью
и пусть
на
Тогда
Доказательство получается из (4.42) с помощью рассуждений, аналогичных заключительным рассуждениям доказательства теоремы 4.11.
Можно получить и аналоги теорем 4.3, 4.13 и следствия 4.14 для решений уравнения (4.33). Предоставляем это сделать читателю.
Предыдущие результаты могут быть обобщены на уравнения вида
где
непрерывна по Гельдеру,
ограничена и интегрируема. Подчеркнем, что первые производные ньютонова потенциала удовлетворяют оценкам Гёльдера с произвольным показателем
задачу 4.8 а), а также теорему 3.9). Из этих оценок для ньютонова потенциала следует, что аналогичные (4.37) и (4.34) оценки в
решений уравнения (4.44) имеют вид
где
Замечание. Если
где
, то слагаемые, содержащие
в правой части в (4.45), (4.46), могут быть заменены на
(см. задачу
Примечания
Содержащиеся в этой главе оценки Гельдера в основном получены Корном [128].
В лемме 4.2 непрерывность по Гельдеру может быть заменена условием Дини; а именно, ньютонов потенциал с плотностью
является решением класса
уравнения Ли
если
где
(см. задачу 4.2). Однако если
только непрерывна, то ньютонов потенциал может не быть дважды дифференцируемым (см. задачу 4.9).
Весовые внутренние нормы и полунормы (4.17), (4.29) мы использовали, следуя Дуглису и Ниренбергу [92]. Основной целью использования частично внутренних норм и полунорм (4.29) является упрощение процедуры получения граничных оценок с помощью непосредствершой имитации вывода внутренних оценок (см., например, теорему 4.12 и лемму 6.4).
Задачи
(см. скан)