Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
7.11. Разностные отношения
В дифференциальных уравнениях с частными производными слабая или классическая дифференцируемость функций часто может быть получена непосредственно из рассмотрения разностных: отношений. Пусть функция и определена в области Обозначим через единичный координатный вектор 1-й оси. Как и в гл. 6, мы определим разностное отношение в направлении вектора формулой
Следующие фундаментальные леммы посвящены разностным отношениям функций из пространств Соболева.
Лемма 7.23. Пусть Тогда для любой при разность и имеет место оценка
Доказательство. Предположим сначала, что и Тогда
По неравенству Гёльдера
и следовательно,
Обобщение результата на произвольные функции из получается с помощью аппроксимации и теоремы 7.9.
Лемма 7.24. Пусть и Предположим, существует постоянная К такая, что и для всех удовлетворяющих условию Тогда слабая производная существует и удовлетворяет неравенству
Доказательство. В силу слабой компактности ограниченных множеств в (задача 5.4) существуют стремящаяся к нулю последовательность чисел функция такие, что для всех выполняется соотношение
Обозначим через 
единичный координатный вектор 1-й оси. Как и в гл. 6, мы определим разностное отношение в направлении вектора 
формулой
Тогда для любой 
при 
разность 
и имеет место оценка
Тогда
получается с помощью аппроксимации и теоремы 7.9.
Предположим, 
существует постоянная К такая, что и 
для всех 
удовлетворяющих условию 
Тогда слабая производная 
существует и удовлетворяет неравенству
(задача 5.4) существуют стремящаяся к нулю последовательность чисел 
функция 
такие, что для всех 
выполняется соотношение
откуда 