17.2. Метод непрерывного продолжения по параметру

Топологические методы гл. 11 недостаточны для изучения вполне нелинейных эллиптических уравнений или нелинейных граничных задач. Для этих проблем мы будем использовать нелинейный вариант метода продолжения по параметру (теорема 5.2). В методе продолжения по параметру рассматриваемая задача включается в семейство задач, зависящих от параметра, изменяющеюся на отрезке, скажем на отрезке [0, 1]. Показывается, что подмножество отрезка [0, 1], для точек которого соответствующие задачи разрешимы, является непустым, замкнутым и открытым, и поэтому совпадает со всем отрезком [0, 1]. Как и в квазилинейном случае, рассмотренном в гл. 11, вновь очень важна линейная теория, однако в рассматриваемой ситуации для доказательства того, что множество разрешимости является открытым, она применяется к производной Фреше оператора

Мы начнем с абстрактных функционально аналитических формулировок. Пусть банаховы пространства и пусть отображение отображает открытое множество Отображение называется дифференцируемым по Фреше в точке если существует ограниченное линейное отображение такое, что

при Линейное отображение называется производной Фреше (или дифференциалом Фреше) отображения в точке . Будем обозначать производную Фреше через . В случае, когда евклидовы пространства понятие производной Фреше совпадает с обычным понятием дифференциала и, более того, основные факты бесконечномерной теории можно моделировать на конечномерном случае, как это обычно делается в высшем анализе (см., например, [93]). В частности, из (17.18) следует, что дифференцируемость по Фреше в точке и влечет непрерывность в точке и, а производная Фреше соотношением (17.18) определена однозначно. Будем назьюать отображение непрерывно дифференцируемым в точке если отображение дифференцируемо по

Фреше в окрестности точки и и соответствующее отображение непрерьшно в точке . Здесь символом обозначается банахово пространство ограниченных линейных отображений из в с нормой

Цепное правило имеет место и для дифференцирования по Фреше, Если отображение дифференцируемы по Фреше в точках соответственно, то композиция отображений дифференцируема в точке и

Имеет место также и теорема о среднем в следующем виде: если и отображение дифференцируемо на замкнутом отрезке , соединяющем в точки то

где

С помощью этих фундаментальных понятий можно сформулировать теорему о неявной функции для отображений, дифференцируемых по Фреше. Предположим, что и X — банаховы пространства и что отображение дифференцируемо по Фреше в точке и Частные производные в смысле Фреше и в точке ограниченные линейные отображения из соответственно в определяемые равенством

для Мы сформулируем теорему о неявной функции в следующем виде.

Теорема 17.6. Пусть - банаховы пространства, отображение открытого подмножества множества . Пусть точка в такая, что

(ii) отображение непрерывно дифференцируемо в точке ;

(iii) частная производная в смысле Фреше обратима. существует окрестность точки в X такая, что уравнение разрешимо при каждом о причем решение

Теорему 17.6 можно доказать сведением к принципу сжимающих отображений (теорема 5.1). Действительно, уравнение эквивалентно уравнению

в котором оператор является, и (17.20), сжимающим отображением в замкнутом шаре пространства если только радиус достаточно мал, а точка достаточно близка точке в

X (детали доказательства см., например, в [93]). Далее можно показать, что отображение определенное для о равенством и дифференцируемо в точке и производная Фреше равна

В приложениях теоремы 17.6 мы будем предполагать, что и банаховы пространства, отображение открытого множества . Пусть фиксированная точка Определим для и отображение равенством

Пусть подмножества отрезка [0, 1] и пространства соответственно, определенные равенствами

Ясно, что так что множества к непусты. Предположим далее, что отображение непрерывно дифференцируемо на и имеет обратимую производную Фреше Тогда из теоремы о неявной функции (теорема 17.6) следует, что множество открыто на [0, 1]. Следовательно, мы получаем следующий вариант метода продолжения по параметру.

Теорема 17.7. Если множество замкнуто в [0, 1], то уравнение разрешимо и решение и принадлежит

Покажем, как теорема 17.7 применяется к задаче Дирихле для вполне нелинейных эллиптических уравнений. Предположим, что функция из уравнения (17.1) принадлежит . В качестве банаховых пространств и возьмем пространства Гёльдера с некоторым Ясно, что оператор определенный равенством (17.1), отображает и, кроме того, отображение имеет непрерывную производную Фреше определяемую формулой

где

(см. задачу 17.2). Мы не можем надеяться на то, что отображение будет обратимо на всем Поэтому рассмотрим сужение на подпространство на (мы его уже использовали в разделе 6.3). Линейный оператор будет тогда обратим для любой функции и на которой оператор строго эллиптичен и имеет

коэффициент с, неположительный в если только Таким образом, с помощью теоремы 17.7 разрешимость задачи Дирихле сведена к получению априорных оценок в пространстве

Теорема 17.8. Пусть ограниченная область в с границей открытое подмножество пространства функция на Пусть для некоторого на Предположим, что функция принадлежит выполнены следующие условия:

(i) оператор строго эллиптичен в на каждой м ;

(ii) для каждой и E;

(iii) множество ограничено в ;

Тогда задача Дирихле на разрешима в

Доказательство. Сведем задачу к случаю нулевых граничных значений, сделав замену и на Отображение определяется тогда для так что

Из теоремы 17.7 и замечаний, предшествующих теореме 17.8, следует, что данная задача Дирихле разрешима, если только множество замкнуто. Однако замкнутость (а также непосредственно следует из ограниченности (и условия по теореме Арцела - Асколи.

Примененная к квазилинейному уравнению, теорема 17.7 дает более слабый результат, чем теорема 11.8. В квазилинейном случае оценка в с некоторым в силу теоремы Шаудера приводит к оценке в Требование может быть ослаблено (задача 17.3), однако для дифференцируемоста по Фреше оператора мы накладываем более сильное, нежели в теореме 11.8, условие о гладкости коэффициентов.

Теорема 17.8 сводит задачу о разрешимости задачи Дирихле для вполне нелинейных эллиптических уравнений к получению серии оценок производных, обобщающих этапы I—IV из процедуры доказательства существования для квазилинейного случая, описанной в гл. 11. Вполне нелинейная задача в общем случае значительно сложнее, так как требуется получить оценку вторых производных. В последующих разделах мы получим оценки вторых производных для различных типов уравнений, включающих примеры, рассмотренные в начале этой главы. В некоторых случаях эти оценки не будут достаточны для прямого применения теоремы 17.7, и потому потребуются некоторые ее модификации. В частности, при рассмотрении негладкой функции в уравнении Беллмана (17.8) используются аппроксимации. Для равномерно эллиптических уравнений мы будем брать (в этом случае условие (iv) становится излишним). Для уравнений типа уравнения Монжа - Ампера множество является подмножеством равномерно выпуклых функций, а условие (iv) имеет место в силу положительности функции

Семейство операторов вида

достаточно для исследований, проводимых в этой главе. Но его, очевидно,

можно заменить на любое семейство операторов вида

где лишь бы была разрешима задача