ГЛАВА 6. КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ; МЕТОД ШАУДЕРА
В этой главе развивается теория линейных эллиптических уравнений второго порядка, которая является, по существу, развитием теории потенциала. Она основана на том фундаментальном наблюдении, что уравнения с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами можно локально рассматривать как возмущения уравнений с постоянными коэффициентами. Из этого факта Шаудер [346, 347] смог построить глобальную теорию, развитие которой излагается здесь. Основой для такого метода являются априорные оценки решений, являющиеся обобщениями оценок теории потенциала на случай уравнений с коэффициентами, непрерывными по Гёльдеру. Эти оценки обеспечивают возможность получения результатов о компактности, существенных для теории существования и регулярности, и, поскольку они применимы и к классическим решениям при относительно слабых предположениях о коэффициентах, они играют важную роль в последующей нелинейной теории.
Всюду в этой главе мы будем рассматривать уравнение вида
и будем записьюать его в виде 
коэффициенты и правая часть которого определены на открытом множестве 
если не оговорено противное, будем предполагать, что оператор 
строго эллиптический, т.е. выполнено неравенство
с некоторой положительной постоянной 
Уравнения с постоянными коэффициентами. Прежде чем рассматривать уравнения (6.1) с переменными коэффициентами, мы установим нужные для этого вспомогательные утверждения, обобщающие относящиеся к уравнению Пуассона теоремы 4.8 и 4.12 на случай эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами. Дающая эти обобщения следующая лемма использует внутреннюю и частично внутреннюю нормы, определенные формулами (4.17), (4.18) и (4.29).
Здесь и всюду далее в этой главе все показатели Гёльдера, если не оговорено противное, считаются принадлежащими интервалу (0,1).
Лемма 6.1. Пусть 
постоянная матрица такая, что
с некоторыми положительными постоянными 
Рассмотрим уравнение
а) Пусть функция и 
удовлетворяет на открытом множестве 
пространства 
уравнению 
с правой частью 
, Тогда
справедлива оценка
с постоянной 
.
б) Пусть 
открытое подмножество 
с границей, содержащей плоский кусок 
расположенный на гиперплоскости 
функция и 
удовлетворяет в 
уравнению 
с правой частью 
на 
справедлива оценка
с постоянной 
.
Доказательство. Пусть 
матрица с постоянными коэффициентами, определяющая невырожденное линейное преобразование 
пространства 
на себя. Полагая и 
несложно проверить, что 
и 
где 
матрица, получающаяся из матрицы 
транспонированием). Существует такая ортогональная матрица 
что матрица А будет диагональной матрицей; ее диагональными элементами будут собственные числа 
матрицы А. Если, далее, 
где 
диагональная матрица 
то преобразование 
переведет уравнение 
уравнение Пуассона 
где 
При этом, осуществляя, если потребуется, поворот, можно добиться, чтобы полупространство 
переходило в полупространство 
Так как ортогональная матрица 
сохраняет длины, то 
Отсюда следует, что если при преобразовании 
имеем 
то нормы (4.17), (4,18), вычисленные для 
и 
на 
соответственно, удовлетворяют неравенствам
с постоянной 
.
Аналогично можно проверить, что если 
открытое подмножество 
с границей 
содержащей лежащий на гиперплоскости 
плоский кусок 
и если 
при преобразовании 
отображается на множество 
в 
с границей, содержащей плоский кусок 
являющийся образом 
при этом преобразовании, то нормы (4.29) в 
удовлетворяют неравенствам
с постоянной 
.
Теперь приступим к доказательству утверждения а) леммы. Применим теорему 4.8 в 
и неравенства (6.6). Получим
а это и утверждалось в (6.4). (Здесь мы использовали одну и ту же букву С дня обозначения разных постоянных, зависящих только от 
Утверждение б) леммы доказьюается аналогично, с помощью теоремы 4.12 и неравенств (6.7).
Из леммы 6.1 непосредственно получаются обобщения оценок дня шаров из теорем 4.6 и 4.11 дня уравнения Пуассона на более широкий класс уравнений (6.3) с постоянными коэффициентами. Получающиеся при этом постоянные будут зависеть, помимо величин 
еще и от постоянных 
