ГЛАВА 6. КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ; МЕТОД ШАУДЕРА
В этой главе развивается теория линейных эллиптических уравнений второго порядка, которая является, по существу, развитием теории потенциала. Она основана на том фундаментальном наблюдении, что уравнения с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами можно локально рассматривать как возмущения уравнений с постоянными коэффициентами. Из этого факта Шаудер [346, 347] смог построить глобальную теорию, развитие которой излагается здесь. Основой для такого метода являются априорные оценки решений, являющиеся обобщениями оценок теории потенциала на случай уравнений с коэффициентами, непрерывными по Гёльдеру. Эти оценки обеспечивают возможность получения результатов о компактности, существенных для теории существования и регулярности, и, поскольку они применимы и к классическим решениям при относительно слабых предположениях о коэффициентах, они играют важную роль в последующей нелинейной теории.
Всюду в этой главе мы будем рассматривать уравнение вида
и будем записьюать его в виде
коэффициенты и правая часть которого определены на открытом множестве
если не оговорено противное, будем предполагать, что оператор
строго эллиптический, т.е. выполнено неравенство
с некоторой положительной постоянной
Уравнения с постоянными коэффициентами. Прежде чем рассматривать уравнения (6.1) с переменными коэффициентами, мы установим нужные для этого вспомогательные утверждения, обобщающие относящиеся к уравнению Пуассона теоремы 4.8 и 4.12 на случай эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами. Дающая эти обобщения следующая лемма использует внутреннюю и частично внутреннюю нормы, определенные формулами (4.17), (4.18) и (4.29).
Здесь и всюду далее в этой главе все показатели Гёльдера, если не оговорено противное, считаются принадлежащими интервалу (0,1).
Лемма 6.1. Пусть
постоянная матрица такая, что
с некоторыми положительными постоянными
Рассмотрим уравнение
а) Пусть функция и
удовлетворяет на открытом множестве
пространства
уравнению
с правой частью
, Тогда
справедлива оценка
с постоянной
.
б) Пусть
открытое подмножество
с границей, содержащей плоский кусок
расположенный на гиперплоскости
функция и
удовлетворяет в
уравнению
с правой частью
на
справедлива оценка
с постоянной
.
Доказательство. Пусть
матрица с постоянными коэффициентами, определяющая невырожденное линейное преобразование
пространства
на себя. Полагая и
несложно проверить, что
и
где
матрица, получающаяся из матрицы
транспонированием). Существует такая ортогональная матрица
что матрица А будет диагональной матрицей; ее диагональными элементами будут собственные числа
матрицы А. Если, далее,
где
диагональная матрица
то преобразование
переведет уравнение
уравнение Пуассона
где
При этом, осуществляя, если потребуется, поворот, можно добиться, чтобы полупространство
переходило в полупространство
Так как ортогональная матрица
сохраняет длины, то
Отсюда следует, что если при преобразовании
имеем
то нормы (4.17), (4,18), вычисленные для
и
на
соответственно, удовлетворяют неравенствам
с постоянной
.
Аналогично можно проверить, что если
открытое подмножество
с границей
содержащей лежащий на гиперплоскости
плоский кусок
и если
при преобразовании
отображается на множество
в
с границей, содержащей плоский кусок
являющийся образом
при этом преобразовании, то нормы (4.29) в
удовлетворяют неравенствам
с постоянной
.
Теперь приступим к доказательству утверждения а) леммы. Применим теорему 4.8 в
и неравенства (6.6). Получим
а это и утверждалось в (6.4). (Здесь мы использовали одну и ту же букву С дня обозначения разных постоянных, зависящих только от
Утверждение б) леммы доказьюается аналогично, с помощью теоремы 4.12 и неравенств (6.7).
Из леммы 6.1 непосредственно получаются обобщения оценок дня шаров из теорем 4.6 и 4.11 дня уравнения Пуассона на более широкий класс уравнений (6.3) с постоянными коэффициентами. Получающиеся при этом постоянные будут зависеть, помимо величин
еще и от постоянных