равенствами (16.89), то теорему 16.12 можно вывести непосредственно из следствия 16.19.
Покажем, что теорема 16.18 приводит к оценке главных кривизн
поверхности
, если коэффициенты
удовлетворяют условию Гёльдера с соответствующим показателем. Чтобы убедиться в этом, дополним матрицу
до матрицы размера
(ср. с процедурой из раздела 16.4) элементами
определенными равенствами
Удобно представить
как функции
в виде
для
Заметим, что величины,
определяются на множестве
(В случае, когда уравнение (16.63) является непараметрическим уравнением Эйлера эллиптической параметрической вариационной задачи, в дополнении 16.8 мы покажем, как естественно возникают функции
. Предположим теперь, что функции
удовлетворяют условиям Гёльдера
для всех
всех
- постоянные, причем
Теорема 16.20. Предположим, что выполнены (16.63), (16.64), (16.65) и (16.103). Пусть
главные кривизны
в точке
Тогда
Доказательство. Выберем число
достаточно малым, чтобы множество
было связным (лемма 16.17) и чтобы оно имело представление вида (16.93), причем было выполнено
следовательно, и
Применяя такие же, как и в разделе 16.4, рассуждения к паре: поверхность
и преобразованная поверхность
определяемая (16.93), мы получим, что функция удовлетворяет на
уравнению вида
причем
для всех
Отсюда, в сипу (16.94), для всех
имеем
В силу (16.103), (16.102) и рассуждений раздела 16.4 отсюда следует, что справедливы оценки Гёльдера
Кроме того, из (16.94) и того, что
следуем, что
Используя, далее, внутреннюю оценку Шаудера (теорема 6.2) вместе с (16.106), (16.107) и (16.108), получаем, что
где
. В частности,
откуда с помощью (16.87) следует утверждение теоремы.
Оценка Гёльдера (16.101) может быть использована для получения оценок градиента решения и уравнения (16.63), удовлетворяющего условиям (16.64) и (16.65). Следующая теорема касается однородного случая, когда не налагаются ограничения на гладкость и непрерывность коэффициентов.
Теорема 16.21. Предположим, что выполнены (16.63), (16.64), что
и функции
измеримы в
Тогда
где
Доказательство. Как и в теореме 16.20, предположим, что число в столь мало, что множество
является связными что справедливы представления (16.93) и (16.94). Заметим, что, так как
мы можем выбрать число в в зависимости только от у. Также мы можем предположить, что в матрице
элемент
Поэтому
Теперь (так как
) уравнение (16.105) можно записать в виде
где
Умножим его на
где
и проинтегрируем по
Поскольку
то, обозначив
получаем
Мы видим, что функция
является слабым решением равномерно эллиптического уравнения
на
Кроме того, в силу (16.110) на
выполняется неравенство
Следовательно, можно применить неравенство Харнака (теорема 8.20) к функции
и получить неравенство
где
Однако на основании (16.110) и (16.94)
на и следовательно, определив функцию и на
равенством
из (16.111) получаем, что
где
Варьируя
, найдем число
, зависящее только от
, такое, что
где точки
таковы, что
Положим теперь
Пусть точки
таковы, что