16.7. Приложения к уравнениям типа уравнений со средней кривизной

Здесь поверхность графиком решения уравнения (16.63), удовлетворяющего условиям (16.64) и (16.65). Используемая терминология та же, что и в разделах

Сначала заметим, что поскольку гауссово отображение автоматически является -квазиконформным с постоянными, определенными

равенствами (16.89), то теорему 16.12 можно вывести непосредственно из следствия 16.19.

Покажем, что теорема 16.18 приводит к оценке главных кривизн поверхности , если коэффициенты удовлетворяют условию Гёльдера с соответствующим показателем. Чтобы убедиться в этом, дополним матрицу до матрицы размера (ср. с процедурой из раздела 16.4) элементами определенными равенствами

Удобно представить как функции в виде

для Заметим, что величины, определяются на множестве (В случае, когда уравнение (16.63) является непараметрическим уравнением Эйлера эллиптической параметрической вариационной задачи, в дополнении 16.8 мы покажем, как естественно возникают функции . Предположим теперь, что функции удовлетворяют условиям Гёльдера

для всех всех - постоянные, причем

Теорема 16.20. Предположим, что выполнены (16.63), (16.64), (16.65) и (16.103). Пусть главные кривизны в точке Тогда

Доказательство. Выберем число достаточно малым, чтобы множество было связным (лемма 16.17) и чтобы оно имело представление вида (16.93), причем было выполнено следовательно, и Применяя такие же, как и в разделе 16.4, рассуждения к паре: поверхность и преобразованная поверхность определяемая (16.93), мы получим, что функция удовлетворяет на уравнению вида

причем

для всех

Отсюда, в сипу (16.94), для всех имеем

В силу (16.103), (16.102) и рассуждений раздела 16.4 отсюда следует, что справедливы оценки Гёльдера

Кроме того, из (16.94) и того, что следуем, что

Используя, далее, внутреннюю оценку Шаудера (теорема 6.2) вместе с (16.106), (16.107) и (16.108), получаем, что

где . В частности,

откуда с помощью (16.87) следует утверждение теоремы.

Оценка Гёльдера (16.101) может быть использована для получения оценок градиента решения и уравнения (16.63), удовлетворяющего условиям (16.64) и (16.65). Следующая теорема касается однородного случая, когда не налагаются ограничения на гладкость и непрерывность коэффициентов.

Теорема 16.21. Предположим, что выполнены (16.63), (16.64), что и функции измеримы в Тогда

где

Доказательство. Как и в теореме 16.20, предположим, что число в столь мало, что множество является связными что справедливы представления (16.93) и (16.94). Заметим, что, так как

мы можем выбрать число в в зависимости только от у. Также мы можем предположить, что в матрице элемент Поэтому

Теперь (так как ) уравнение (16.105) можно записать в виде

где Умножим его на где и проинтегрируем по Поскольку

то, обозначив получаем

Мы видим, что функция является слабым решением равномерно эллиптического уравнения

на Кроме того, в силу (16.110) на выполняется неравенство Следовательно, можно применить неравенство Харнака (теорема 8.20) к функции и получить неравенство

где Однако на основании (16.110) и (16.94)

на и следовательно, определив функцию и на равенством

из (16.111) получаем, что

где Варьируя , найдем число , зависящее только от , такое, что где точки таковы, что Положим теперь

Пусть точки таковы, что

Возьмем совокупность точек в такую, что , и такую, что

Применив раз, получим неравенство из которого следует, что

Число можно взять так, что , где Следовательно,

где Теорема 16.21 следует теперь с помощью неравенства (см. задачу 16.5).

Оценка Гёльдера для может быть также использована для получения оценки градиента и в неоднородном случае, однако при этом на функции необходимо наложить условие Липшица. Интересующегося читателя отсылаем для справок к [253].