7.12. Продолжение и интерполяция

При некоторых условиях на область функции из соболевских пространств могут быть продолжены на все пространство так, что продолженные функции будут принадлежать Мы начинаем этот раздел с фундаментального результата о продолжении, аналогичного результату леммы 6.37. Он будет применен к обобщению ранее доказанных теорем вложения и для получения интерполяционных неравенств для норм соболевских пространств.

Теорема 7.25. Пусть - область в класса . Тогда:

(ii) для любого открытого множества существует ограниченный линейный оператор продолжения действующий из такой, что в области и для всех и

где

Доказательство. Отметим, что в силу лемм 6.37 и 7.4 утверждения (i) и (ii) эквивалентны. Сначала рассмотрим результат о плотности, сформулированный в для полупространства Легко проверить, что функция заданная формулой

сходится при к функции и в метрике Соответствующее продолжение функции и на все пространство можно определить так же, как в лемме 6.37, а именно:

где с к — постоянные, удовлетворяющие системе уравнений к

Если и то кроме, того,

где Отсюда следует, что оператор отображает причем выполняется неравенство (7.57) для всех и Рассмотрим теперь случай, когда область в класса Согласно результатам, доказанным в разделе , существует конечное число открытых множеств которые покрывают границу а соответствующие им преобразования области на единичный шар таковы, что вьшолняются условия:

Пусть подобласть такая, что объединение , является конечным покрытием области Пусть , — разбиение единицы, соответствующее этому покрытию. Тогда (задача 7.5), и следовательно, Отсюда , так как Тем самым отображение определенное для функций и формулой удовлетворяет следующим условиям: на Кроме того, (Ей)

Объединяя результат теоремы 7.25 для случая с предыдущими результатами о вложениях (теоремы 7.10, 7.12 и 7.22) мы получаем

соответствующие теоремы для соболевских пространств в областях с границей, удовлетворяющей условию Липшица. Итерируя эти результаты, мы получаем следующую общую теорему вложения для пространств

Теорема 7.26. Пусть область в класса Тогда:

(i) если то пространство непрерывно вложено в пространство и компактно вложено в для любого

(ii) если то пространство непрерывно вложено в и компактно вложено в для любого

Обратимся теперь к выводу интерполяционных неравенств. Сначала рассмотрим случай пространств

Теорема 7.27. Пусть и Тогда для любого и любого мультшндекса справедливо неравенство

До казательство. Мы докажем неравенство (7.59) для случая который будет в необходим в гл. 9. Соответствующая индукция приводит к требуемому результату в случае произвольных

Пусть Рассмотрим интервал длины Для по теореме о среднем мы можем записать

где некоторая точка из Поэтому для любого справедливо неравенство Интегрируя его по получаем неравенство Отсюда в силу неравенства Гёльдера имеем

Интегрируя это неравенство по интервалу получаем

Разделим числовую прямую на интервалы длины для каждого из них запишем полученное выше неравенство и сложим их. Получим следующее неравенство:

Это и есть требуемое неравенство в одномерном случае. Для его обобщения на многомерный случай зафиксируем и применим неравенство (7.60) к функции , рассматриваемой как функция одной переменной Последовательным интегрированием по оставшимся переменным мы придем к неравенству

Итак, с постоянной

Объединяя результаты теорем 7.25 и 7.27, мы приходим к интерполяционным неравенствам для соболевских пространств.

Теорема 7.28. Пусть область в класса для любых выполняется неравенство

где

Другие источники интерполяционных неравенств указаны в задачах Отметим, что результаты о плотности, продолжении, вложении и интерполяции (теоремы 7.25, 7,26 и 7.28) имеют место при менее ограничительных условиях на область (см. [4]).

Примечания

Родственный материал о соболевских пространствах читатель может найти в книгах [4], [313], [208] и [214]. Следуя традиции, мы называем рассматриваемые в этой главе пространства слабо дифференцируемых функций соболевскими пространствами, хотя различные понятия пространств слабо дифференцируемых функций использовались и до работы Соболева [267] (см, по этому поводу [204] и [208]), Методы осреднения или регуляризации функций появились у Фридрихса [314]. Теорема о плотности (теорема 7.9) установлена Мейерсом и Серрином [188]. Неравенства Соболева (теорема 7.10) были по существу доказаны Соболевым [267], [268]; для случая мы следовали доказательству Ниренберга [217]. Оценки Гёльдера (теоремы и 7.19) были получены Морри [204]. Теорема 7.21 доказана Джоном и Ниренбергом [85]; наше доказательство взято из [283], где имеется также оценка теоремы 7.15, Результат о компактности (теорема 7.22) принадлежит в случае Реллиху [246], а в общем случае — Кондрашову [125].

Задачи

(см. скан)

(см. скан)