Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 7.12. Продолжение и интерполяцияПри некоторых условиях на область Теорема 7.25. Пусть
(ii) для любого открытого множества
где Доказательство. Отметим, что в силу лемм 6.37 и 7.4 утверждения (i) и (ii) эквивалентны. Сначала рассмотрим результат о плотности, сформулированный в
сходится при
где
Если и
где
Пусть Объединяя результат теоремы 7.25 для случая соответствующие теоремы для соболевских пространств Теорема 7.26. Пусть (i) если (ii) если Обратимся теперь к выводу интерполяционных неравенств. Сначала рассмотрим случай пространств Теорема 7.27. Пусть и
До казательство. Мы докажем неравенство (7.59) для случая Пусть
где
Интегрируя это неравенство по интервалу
Разделим числовую прямую
Это и есть требуемое неравенство в одномерном случае. Для его обобщения на многомерный случай зафиксируем
Итак, Объединяя результаты теорем 7.25 и 7.27, мы приходим к интерполяционным неравенствам для соболевских пространств. Теорема 7.28. Пусть
где Другие источники интерполяционных неравенств указаны в задачах ПримечанияРодственный материал о соболевских пространствах читатель может найти в книгах [4], [313], [208] и [214]. Следуя традиции, мы называем рассматриваемые в этой главе пространства слабо дифференцируемых функций соболевскими пространствами, хотя различные понятия пространств слабо дифференцируемых функций использовались и до работы Соболева [267] (см, по этому поводу [204] и [208]), Методы осреднения или регуляризации функций появились у Фридрихса [314]. Теорема о плотности (теорема 7.9) установлена Мейерсом и Серрином [188]. Неравенства Соболева (теорема 7.10) были по существу доказаны Соболевым [267], [268]; для случая Задачи(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|