14.2. Выпуклые области

В этом разделе мы рассмотрим конструкции барьеров, применимых к выпуклым и равномерно выпуклым областям. Предположим, что область удовлетворяет условию внешней плоскости в точке Это

значит, что существует гиперплоскость такая, что Полагая и для любой функции и имеем

Поэтому если то с некоторой неубывающей функцией у выполняется неравенство

Поэтому применима барьерная техника, описанная в предыдущем разделе, с постоянными

Итак, мы получили оценку для решения и задачи Дирихле: на Чтобы обобщить этот результат на случай ненулевых граничных значений мы потребуем, чтобы функции и были равны т. е. чтобы выполнялось неравенство

для где — некоторая неубывающая функция. В итоге мы получаем следующую оценку.

Теорема 14.2. Пусть функции удовлетворяют в уравнению на Предположим, что область выпукла и выполнено структурное условие (14.22). Тогда

где

Как и в предьщущем разделе, структурное условие (14.22) в условии теоремы 14.2 может быть заменено условием, не зависящим от граничных значений В частности, или из условия

или из условия

следует справедливость неравенства (14.22) для некоторой функции зависящей от Первая импликация является следствием неравенства (14.17); вторая импликация следует из неравенства

Итак, мы можем утверждать, что имеет место следующее утверждение.

Следствие 14.3. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению на Предположим, что область выпукла и Пусть выполнено одно из структурных условий (14.24), (14.25). Тогда

где

Следствие 14.3 применимо, в частности, к оператору уравнения минимальных поверхностей:

Здесь (см. гл. 10, примеры (i) и (iii)), и поэтому граничная оценка градиента для уравнения имеет место в выпуклых областях. Этот результат, точный в случае двух переменных, для больших размерностей будет усилен в следующем разделе.

Предположим теперь, что область удовлетворяет условию охватывающей сферы в точке существует шар такой, что Положим и Тогда для любой функции имеем

где Последнее соотношение получается с помощью равенства

Из (14.29) можно получить теперь граничную оценку градиента, если функция оценивается или через или через . Действительно, пусть Предположим, что существует неубывающая функция такая, что

для Будем говорить, что область равномерно выпукла, если она в каждой граничной точек удовлетворяет условию охватывающей сферы с одним и тем же фиксированным радиусом . С помощью барьеров, построенных ранее, доказывается следующая оценка.

Теорема 14.4. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению на Предположим, что область равномерно выпукла. Пусть выполняется структурное условие (14.30). Тогда справедлива оценка

где

Ясно, структурное условие (14.30) с функцией зависящей от следует или из условия

или из условий

Поэтому справедливо и такое следствие теоремы 14.4.

Следствие 14.5. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению на Предположим, что область равномерно выпукла и Пусть выполнено или условие (14.32), или условие (14.33). ТЪгдд

где

Следствие 14.5 применимо, в частности, к уравнению поверхностей с заданной средней кривизной

В этом случае и поэтому если удовлетворяет неравенству

то граничная оценка градиента имеет место для решений уравнения (14.35) в равномерно выпуклых областях. Для размерностей, превосходящих 2, этот результат будет усилен в следующем разделе.

Структурное условие (14.32) выполняется, очевидно, при В этом случае следствие 14.5 может быть получено с помощью простой линейной барьерной функции, поскольку граничное многообразие удовлетворяет условие ограниченности наклона.

Кроме того, если то для доказательства оценки (14.34) можно использовать барьер вида с достаточно большим коэффициентом к. Из приведенных выше доказательств видно, что результаты этого раздела остаются справедливыми и в случае, когда структурные условия налагаются только в точках принадлежащих некоторой окрестности границы

Замечание. Слегка модифицируя рассмотрения этого и предыдущего разделов, можно получить граничную оценку градиента только на основании локального поведения Для удобства сформулируем здесь результаты такого типа для областей класса Пусть наименьшая из главных кривизн границы в точке и пусть внутренняя нормаль к в точке Предположим, что существует неубывающая функция такая, что для каждой точки существует такое, что

при

Тогда имеет место оценка

где Если для всех точек то неравенство (14.37) может быть нестрогим с постоянной к, замененной на постоянную В качестве иллюстрации возможного типа

поведения, рассмотренного здесь, рассмотрим уравнение

В этом случае граничная оценка градиента будет иметь место для выпуклой области и любой если только при т. е. когда кривизна границы положительна, ислючая, быть может, точки, в которых касательные параллельны оси