11.4. Теорема Лере-Шаудера о неподвижной точке

В некоторых приложениях семейство задач Дирихле сир на используемое в теореме 11.4, желательно заменить семейством, которое от параметра а зависит другим способом. В соответствии с этим докажем следующее обобщение теоремы 113.

Теорема 11.6. Пусть - банахово пространство и компактное отображение в такое, что для всех . Предположим, что сущедтвует такая постоянная что

при всех удовлетворяющих равенству Тогда отображение пространства в себя, задаваемое равенством , имеет неподвижную точку.

Теорема 11.6 доказывается с помощью следующей леммы, вытекающей из следствия 11.2.

Лемма 11.7. Пусть единичный шар в 85 и непрерывное отображение В в 85 такое, что предкомпактное множество и . Тогда имеет неподвижную точку.

Доказательство. Определим отображение формулой

Ясно, что отображение является непрерывным отображением в себя, и, поскольку предкомпактно, то же самое имеет место для Следовательно, в силу следствия 11.2 отображение имеет неподвижную точку х, и так как то Их и поэтому Доказательство теоремы 11.6. Без ограничения общности можно считать, что Для определим отображение

В формулой

Ясно, что отображение непрерывно, множество предкомпактно в силу компактности и Следовательно, по лемме 11.7, отображение имеет неподвижную точку Положим

где . В силу компактности переходя, если надо, к подпоследовательности, мы можем считать, что последовательность сходится в к Покажем, что тогда Действительно, если то для всех достаточно больших к и, следовательно, а это противоречит (11.17). Поэтому Из непрерывности вытекает, что , и поэтому неподвижная точка

Отметим, что теорема 11.3 является частным случаем теоремы 11.6, когда Пусть оператор оператор вида (11.3). Предположим, что оператор область и функция у удовлетворяют условиям теоремы 11.4. Чтобы воспользоваться теоремой 11.6 для исследования задачи Дирихле мы включим ее в семейство задач вида

такое, что:

(ii) операторы эллиптичны в при всех ;

(iii) коэффициенты принадлежат это значит, что при каждом и функции рассматриваемые как отображения отрезка [0, 1] в непрерывны.

Для всех функций и чисел оператор определяем равенством где единственное решение в линейной задачи Дирихле

Из условия (i) следует, что разрешимость задачи Дирихле

на в пространстве эквивалентна разрешимости уравнения в банаховом пространстве и что всех и Непрерывность и компактность отображения устанавливаются с помощью условий (ii) и (iii). Детали этого рассуждения подобны доказательству теоремы 11.4, и мы оставляем их читателю. Итак, мы можем из теоермы 11.6 вывести следующее обобщение теоремы 11.4.

Теорема 11.8. Пусть ограниченная область в с границей и пусть семейство операторов удовлетворяет условиям приведенным выше. Предположим, что для некоторого существует постоянная не зависящая от , такая, что любое решение класса задачи Дирихле на удовлетворяет оценке

Тогда задача Дирихле на разрешима в

Отметим, что если использовать теорию топологической степени отображений (см. [160]), то условия теорем 11.6 и 11.8 могут быть немного ослаблены. Однако, поскольку получаемые таким образом улучшения не имеют отношения к специфическим применениям, рассматриваемым в этой книге, мы предпочли совсем не пользоваться теорией степени отображений.