11.4. Теорема Лере-Шаудера о неподвижной точке
В некоторых приложениях семейство задач Дирихле
сир на
используемое в теореме 11.4, желательно заменить семейством, которое от параметра а зависит другим способом. В соответствии с этим докажем следующее обобщение теоремы 113.
Теорема 11.6. Пусть
- банахово пространство и
компактное отображение
в
такое, что
для всех
. Предположим, что сущедтвует такая постоянная
что
при всех
удовлетворяющих равенству
Тогда отображение
пространства
в себя, задаваемое равенством
, имеет неподвижную точку.
Теорема 11.6 доказывается с помощью следующей леммы, вытекающей из следствия 11.2.
Лемма 11.7. Пусть
единичный шар в 85 и
непрерывное отображение В в 85 такое, что
предкомпактное множество и
. Тогда
имеет неподвижную точку.
Доказательство. Определим отображение
формулой
Ясно, что отображение
является непрерывным отображением
в себя, и, поскольку
предкомпактно, то же самое имеет место для
Следовательно, в силу следствия 11.2 отображение
имеет неподвижную точку х, и так как
то Их
и поэтому
Доказательство теоремы 11.6. Без ограничения общности можно считать, что
Для
определим отображение
В формулой
Ясно, что отображение
непрерывно, множество
предкомпактно в силу компактности
и
Следовательно, по лемме 11.7, отображение
имеет неподвижную точку
Положим
где
. В силу компактности
переходя, если надо, к подпоследовательности, мы можем считать, что последовательность
сходится в
к
Покажем, что тогда
Действительно, если
то
для всех достаточно больших к и, следовательно,
а это противоречит (11.17). Поэтому
Из непрерывности
вытекает, что
, и поэтому
неподвижная точка
Отметим, что теорема 11.3 является частным случаем теоремы 11.6, когда
Пусть оператор
оператор вида (11.3). Предположим, что оператор
область и функция у удовлетворяют условиям теоремы 11.4. Чтобы воспользоваться теоремой 11.6 для исследования задачи Дирихле
мы включим ее в семейство задач вида
такое, что:
(ii) операторы
эллиптичны в
при всех
;
(iii) коэффициенты
принадлежат
это значит, что
при каждом
и функции
рассматриваемые как отображения отрезка [0, 1] в
непрерывны.
Для всех функций
и чисел
оператор
определяем равенством
где
единственное решение в
линейной задачи Дирихле
Из условия (i) следует, что разрешимость задачи Дирихле
на
в пространстве
эквивалентна разрешимости уравнения
в банаховом пространстве
и что
всех и
Непрерывность и компактность отображения
устанавливаются с помощью условий (ii) и (iii). Детали этого рассуждения подобны доказательству теоремы 11.4, и мы оставляем их читателю. Итак, мы можем из теоермы 11.6 вывести следующее обобщение теоремы 11.4.
Теорема 11.8. Пусть
ограниченная область в
с границей
и пусть семейство операторов
удовлетворяет условиям
приведенным выше. Предположим, что для некоторого
существует постоянная
не зависящая от
, такая, что любое решение класса
задачи Дирихле
на
удовлетворяет оценке
Тогда задача Дирихле
на
разрешима в
Отметим, что если использовать теорию топологической степени отображений (см. [160]), то условия теорем 11.6 и 11.8 могут быть немного ослаблены. Однако, поскольку получаемые таким образом улучшения не имеют отношения к специфическим применениям, рассматриваемым в этой книге, мы предпочли совсем не пользоваться теорией степени отображений.