2.1. Неравенства для средних значений
Первое утверждение, являющееся следствием тождества (2.4), содержит в себе хорошо известное свойство среднего для гармонических, субгармонических и супергармонических функций.
Теорема 2.1. Пусть и 
удовлетворяет соотношению 
Тогда для любого шара 
справедливы равенства (неравенства)
Для случая гармонической функции теорема 2.1 утверждает, что значение этой функции в центре шара В равно ее интегральному среднему как по сфере 
так и по самому шару В. Эти утверждения, известные как теоремы о среднем, полностью характеризуют гармонические функции (см. теорему 2.7).
Доказательство теоремы 2.1. Пусть 
Применим тождество (2.4) к шару 
Получим
Вводя радиальную и угловые координаты: 
и представляя и 
имеем
Следовательно, для любого 
а так как
то получаем соотношение (2.5). Соотношение (2.6) немедленно получается из (2.5), если последнее записать в виде
и проинтегрировать по 
от 0 до 
