Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
ГЛАВА 13. ОЦЕНКИ ГЁЛЬДЕРА ГРАДИЕНТА
В этой главе мы получим внутренние и глобальные оценки Гёльдера в ограниченной области
производных решений квазилинейных эллиптических уравнений вида
Покажем, что этап IV в процедуре доказательств теоремы существования, описанной в гл. 11, может быть, благодаря наличию глобальных оценок, опущен, если дополнительно к условиям теоремы 11.4 предположить, что или
или оператор
является оператором дивергентного вида, или
Оценки этой главы будут доказаны сведением к результатам гл. 8, в частности, к теореме 8.18, 8.24, 8.26 и 8.29.
13.1. Уравнение в дивергентной форме
Предположим, что оператор
эквивалентен эллиптическому оператору вида
с вектор-функцией
и функцией
Если функция и
удовлетворяет в
уравнению
то справедливо равенство
Фиксируя
заменяя и интегрируя по частям, получаем
где
дифференциальный оператор, определенный равенством
а аргументами
, и В являются
Отсюда, обозначая
где - единичная матрица, получаем, что производная
удовлетворяет тождеству
Таким образом, функция
является обобщенным решением линейного эллиптического уравнения
Переходя, если это необходимо, от области
к ее подобласти, мы можем предполагать, что оператор
строго эллиптичен в
и что коэффициенты
являются ограниченными функциями, т. е. выполнены условия теорем 8.22 и 8.24. Следовательно, взяв числа
так, чтобы выполнялись неравенства
для всех
приходим к следующей внутренней оценке.
Теорема 13.1. Пусть функция и
удовлетворяет в области
уравнению
с эллиптическим в
оператором
дивергентной формы (13.2), коэффициенты которого
Тогда в произвольной подобласти
снизу положительными постоянными и, следовательно, оператор
является строго эллиптическим в
и имеет ограниченные коэффициенты
Применяя теорему 8.29, в произвольной области
получаем оценку
где
Оставшаяся производная
может быть оценена следующим образом.
Пусть
и пусть
- постоянная, равная
если
и равная
, если
Функция
, где
принадлежит
. Подставляя функцию
в интегральное тождество
получаем
Отсюда в силу неравенства Шварца (7.6) и эллиптичности оператора
получаем
где
Пусть теперь функция
такова, что
в
Тогда, используя (13.7), получаем
где постоянные С и а зависят от тех же величин, что и в (13.7). Следовательно, поскольку
имеем
если
Разрешив далее уравнение (13.6) относительно
можем записать, что
где
некоторые ограниченные функции, оценивающиеся через величины
Отсюда в силу (13.8) получаем
Используя далее неравенство
и оценку Морри (теорема 7.19), получаем, что оценка (13.7) справедлива и для
Возвращаясь обратно в область
с помощью отображения
получаем оценку
для произвольного концентрического шара
где
Наконец, взяв конечное число центров
и шаров