ГЛАВА 13. ОЦЕНКИ ГЁЛЬДЕРА ГРАДИЕНТА

В этой главе мы получим внутренние и глобальные оценки Гёльдера в ограниченной области производных решений квазилинейных эллиптических уравнений вида

Покажем, что этап IV в процедуре доказательств теоремы существования, описанной в гл. 11, может быть, благодаря наличию глобальных оценок, опущен, если дополнительно к условиям теоремы 11.4 предположить, что или или оператор является оператором дивергентного вида, или Оценки этой главы будут доказаны сведением к результатам гл. 8, в частности, к теореме 8.18, 8.24, 8.26 и 8.29.

13.1. Уравнение в дивергентной форме

Предположим, что оператор эквивалентен эллиптическому оператору вида

с вектор-функцией и функцией Если функция и удовлетворяет в уравнению то справедливо равенство

Фиксируя заменяя и интегрируя по частям, получаем

где дифференциальный оператор, определенный равенством

а аргументами , и В являются Отсюда, обозначая

где - единичная матрица, получаем, что производная удовлетворяет тождеству

Таким образом, функция является обобщенным решением линейного эллиптического уравнения

Переходя, если это необходимо, от области к ее подобласти, мы можем предполагать, что оператор строго эллиптичен в и что коэффициенты являются ограниченными функциями, т. е. выполнены условия теорем 8.22 и 8.24. Следовательно, взяв числа так, чтобы выполнялись неравенства

для всех приходим к следующей внутренней оценке.

Теорема 13.1. Пусть функция и удовлетворяет в области уравнению с эллиптическим в оператором дивергентной формы (13.2), коэффициенты которого Тогда в произвольной подобласти

справедлива оценка

где

Чтобы распространить утверждение теоремы 13.1 до глобальных оценок Гёльдера в области предположим, что оператор эллиптичен в коэффициенты граница где Заменяя на - мы можем без ограничения общности предполагать, что на Так как то для произвольной точки существуют шар и взаимно однозначное отображение шара В на открытое множество такие, что

Записывая получим, что на и уравнение рассматриваемое эквивалентно уравнению

рассматриваемому в где функции определяются формулами

Следовательно, производные будут решениями в линейного эллиптического уравнения

где

Аргументами функций являются

Заменяя шар если необходимо, концентрическим шаром меньшего радауса, мы можем предполагать, что определитель матрицы Якоби ограничен в В сверху и

снизу положительными постоянными и, следовательно, оператор является строго эллиптическим в и имеет ограниченные коэффициенты Применяя теорему 8.29, в произвольной области получаем оценку

где

Оставшаяся производная может быть оценена следующим образом.

Пусть и пусть - постоянная, равная если и равная , если Функция , где принадлежит . Подставляя функцию в интегральное тождество получаем

Отсюда в силу неравенства Шварца (7.6) и эллиптичности оператора получаем

где Пусть теперь функция такова, что в Тогда, используя (13.7), получаем

где постоянные С и а зависят от тех же величин, что и в (13.7). Следовательно, поскольку имеем

если Разрешив далее уравнение (13.6) относительно можем записать, что

где некоторые ограниченные функции, оценивающиеся через величины Отсюда в силу (13.8) получаем

Используя далее неравенство и оценку Морри (теорема 7.19), получаем, что оценка (13.7) справедлива и для Возвращаясь обратно в область с помощью отображения получаем оценку

для произвольного концентрического шара где Наконец, взяв конечное число центров и шаров

покрывающих получаем из (13.5) и (13.9) следующую оценку Гёльдера.

Теорема 13.2. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению где эллиптический в оператор в дивергентной форме (13.2) с коэффициентами . Если на где справедлива оценка

в которой

Анализ доказательств теорем 13.1 и 13.2 показывает, что оценки (13.5) и (13.10) остаются справедливыми в предположении, что и с некоторым . В этом случае можно взять величина а будет зависеть также и от