6.8. Приложение 1. Интерполяционные неравенства

В этом разделе мы докажем интерполяционные неравенства, использованные в гл. 6. Начнем с неравенств для внутренних норм и полунорм.

Лемма 6.32. Пусть . Пусть открытое множество в Предположим, что функция и Тогда для любого существует положительная постоянная такая, что справедливы неравенства

Доказательство. Мы докажем оценки (6.82) для используемых в этой книге случаев . Непосредственное развитие используемых при этом идей и применение индукции позволяет доказать неравенства (6.82) при произвольных

Предположим, что правая часть в неравенстве (6.82) конечна. В противном случае неравенство справедливо. Будем для краткости опускать значок помня о том, что он должен быть. Рассмотрим несколько случаев:

(i) . Мы хотим показать, что

каково бы ни было Пусть произвольная точка из расстояние от х до положительная постоянная (ее выбор осуществим позднее). Пусть шар с центром Возьмем любое и обозначим через концевые точки отрезка длины параллельного оси серединой которого является точках. На этом отрезке существует точка х такая что Так как для всех справедливы неравенства то Следовательно, Если взять число такое, что то мы получим неравенство (6.82) с постоянной Поступаем аналогичным образом. Пусть и пусть концевые точки отрезка длины параллельного оси серединой которого является точка На этом отрезке существует точка х такая, что

и

Так как для всех справедливы неравенства получаем, что Беря верхнюю грань по и по и выбирая число такое, что мы получаем неравенство

с постоянной

Если в неравенстве (6.84) заменить на и осуществить очевидные изменения рассуждений, то получим (6.82) для

Объединив (6.85) и (6.83), соответствующим образом подобрав значение каждом из этих неравенств, мы приходим к неравенству (6.82) для

(iii) . Пусть . Пусть определены, как и ранее. Неравенство (6.82) для случая будем доказьшать, отправляясь от интерполяционного неравенства

в котором а число может быть произвольным. Если , то из теоремы о среднем при следует, что

если же

Объединяя эти неравенства, получаем, что при

Отсюда при взяв получаем неравенство (6.82). Применив к правой части (6.88) неравенство (6.83) и подобрав соответствующее значение получаем неравенство Для случая доказательства проводится по той же схеме, если заменить и на Однако при этом появляется следующее отличие: вместо (6.87) появится неравенство

Утверждение вновь последует из (6.83).

(iv) . Достаточно взять следовательно Применяя предыдущие обозначения, для имеем а если , то Объединим эти неравенства и возьмем верхнюю грань по Мы придем к неравенству (6.82) при с постоянными

Оставшиеся для случаи исследуются аналогично, с помощью результатов случая

Интерполяционные неравенства (6.82) для полунорм непосредственно приводят к неравенствам для норм вида

Из леммы 6.32 вытекает следующий результат о компактности.

Лемма 6.33. Пусть открытое ограниченное множество в и пусть ограниченное подмножество банахова пространства

Предположим также, что функции из равностепенно непрерывны на Тогда при к множество предкомпактно в

Доказательство. Так как множество равностепенно непрерывно на и ограничено в то оно содержит последовательность функций равномерно на сходящуюся к функции и Из условий леммы следует, что (величина не зависит от Из (6.82) следует, что для любого существует положительная постоянная такая, что столь велико, что при всех то для Следовательно, последовательность сходится к и в что и доказывает утверждение леммы.

Обобщим результат леммы 6.32 на чисто внутренние нормы и полунормы в областях, границы которых содержат плоский кусок.

Лемма 6.34. Пусть открытое подмножество в граница которого содержит плоский кусок лежащий на гиперплоскости Пусть и пусть где Тогда для любого существует положительная постоянная такая, что выполняются неравенства

Доказательство. Снова предполагаем, что правые части неравенств конечны. Доказательство неравенств (6.89) мало чем отличается от доказательства леммы 6.32, и мы отметим лишь те места, в которых доказательства отличаются. Для краткости далее индекс опускаем, помня о том, что он всегда присутствует.

Рассмотрим сначала случаи начиная с неравенства

Пусть произвольная точка в расстояние от х до положительная постоянная (ее выбор осуществим далее).

Если то шар вложен в и такие же, как и при доказательстве леммы 6.32, рассуждения приводят к неравенству

если только число взято достаточно малым.

Если то рассмотрим шар с центром лежащим на луче, выходящем из точки х и перпендикулярном к таким, что Пусть концевые точки диаметра шара В, параллельного оси На этом диаметре существует точка х такая, что

так как для всех справедливо неравенство Далее

Следовательно,

коль скоро Возьмем число столь малым, чтобы выполнялись оба неравенства, как в случае так и в случае Взяв далее точную верхнюю грань по и по мы получим неравенство (6.90). Если в предыдущих рассуждениях заменить на и сделать соответствующие изменения, то получим (6.90) для .

Доказательство неравенства (6.89) в случае проводится так же, как и доказательство леммы 6.32, с изменениями, которые намечены при доказательстве неравенства (6.90). Вместе с предыдущим случаем это дает нам оценку (6.89) для

Доказательство неравенства (6.89) при аналогично доказательству случаев из леммы 6.32. При этом возникнет отличие в случае для которого потребуется теорема о среднем в усеченном шаре с центром х таким, что

Мы завершим это приложение доказательством глобального интерполяционного неравенства в гладких областях.

Лемма 6.35. Предположим, что Пусть область в класса . Предположим, что функция и Тогда для любого существует положительная постоянная такая, что справедливо неравенство

Доказательство. Доказательство основано на сведении к результату леммы 6.34 с помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям доказательства леммы 6.5. Как и там, возьмем шар с центром и пусть диффеоморфизм класса выпрямляющий границу в окрестности точки содержащей Пусть Так как является плоским куском границы то, применяя интерполяционное неравенство (6.89) в области к функции ползаем неравенство

Из (6.30) следует, что

(в этом неравенстве через обозначена другая, нежели выше, функция . Полагая , где (4.17) и получаем

Пусть конечный набор шаров, покрывающих границу , таких, что выполняется на каждом из множеств неравенство (6.90) с постоянной Пусть Тогда для произвольной точки шар вложен в шар с некоторым и поэтому справедливо неравенство

Завершающие доказательство рассуждения такие же, как и в доказательстве теоремы 6.6. Мы предоставляем осуществить их читателю.

Глобальное интерполяционное неравенство (6.91) справедливо для более широкого класса областей, например, для областей класса (см. задачу 6.7). Однако, как показывает пример на стр. 59, для справедливости вложения при а необходима определенная регулярность области; в произвольной области глобальное интерполяционное неравенство не имеет места.

Из леммы 6.35 вытекает утверждение о компактности.

Лемма 6.36. Пусть область в класса и пусть - ограниченное в множество. Тогда предкомпактно в при

Доказательство сформулированного утверждения по существу такое же, как и доказательство утверждения леммы 6.33, и мы его опускаём. Результат справедлив, очевидно, и для областей, в которых справедливо глобальное интерполяционное неравенство (6.9), в частности, для областей класса