16.4. Уравнения с двумя независимыми переменными

До сих пор в этой главе мы имели дело с уравнением поверхностей с заданной средней кривизной , в частности, с уравнением минимальных поверхностей. В случае двух независимых переменных можно изучить несколько более общий класс уравнений. Мы будем рассматривать уравнения вида

где область в заданные

вещественные функции на удовлетворяющие неравенствам

при

для всех Здесь фиксированные постоянные.

Заметим, что уравнение минимальных поверхностей можно записать в виде (16.63), взяв

В этом случае неравенства (16.64) и (16.65) выполняются с постоянными Более того: любое уравнение, которое получается как непараметрическое уравнение Эйлера эллиптического параметрического функционала (см. приложение 16.8), имеет вид (16.63) и выполнены неравенства (16.64) и (16.65). Однако, не считая этих примеров, более естественен и интересен класс уравнений вида (16.63), (16.64), (16.65), называемый нами классом уравнений типа уравнений со средней кривизной и полностью характеризуемый следующим образом. Пусть — функция класса ее график:

Тогда вещественные функции удовлетворяющие (16.63), (16.64), (16.65), существуют тогда и только тогда, когда главные кривизны поверхности (см. раздел 14.6) в каждой точке связаны уравнением вида

причем удовлетворяют условиям

Убедимся в справедливости этого свойства, характеризующего рассматриваемый класс уравнений. Пусть функция расстояния до определенная для точек следующим образом: если если Так как функция принадлежит (см. лемму 14.16) и то в силу цепного правила справедливы тождества

и

то из (16.63) следует, что

где , а элементы матрицы определяются следующим образом:

Отметим, что последние соотношения эквивалентны следующим соотношениям:

где внешняя единичная нормаль к Пусть ортогональная матрица перехода к главной координатной системе с центром в точке X (см. раздел 14.6). Это значит, что где главные кривизны в точке Тогда равенство (16.67) можно переписать в виде (16.63), где первые два элемента главной диагонали матрицы Равенство (16.65) выполняется в силу (16.65). Чтобы проверить (16.64), сначала заметим, что

Тогда из (16.64) следует, что

Отсюда легко выводится (16.64).

Докажем обратное утверждение. Пусть точке выполнены (16.63), (16.64), (16.65). Положим

где та же самая матрица, что и выше, и положим Тогда выполняется (16.67) и поэтому, так как мы имеем еще соотношения , применение (16.66) приводит к равенству

Определим для

и

Теперь легко проверяются (16.63), (16.64) и (16.65).

Изучение уравнений (16.63), (16.64), (16.65), проводимое в этой главе, во многих отношениях похоже на проведенное в гл. изучение равномерно эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными; как и в гл. , мы начнем с изучения квазиконформных отображений, хотя здесь будет необходимо иметь дело с отображениями поверхностей в а не с отображениями на плоскости. Как и в гл. основной результат — оценка Гёльдера для квазиконформных отображений. Частным случаем этой общей оценки является оценка Гёльдера для единичной нормали к графику решения и уравнения (16.63), (16.64), (16.65). На основе этой оценки будут получены априорные оценки главных кривизн графика и градиента . Одним из наиболее удивительных результатов теории уравнений вида (16.63), (16.64), (16.65) является следующее обобщение классической теоремы Бернштейна.

Теорема 61.12. Пусть функция и удовлетворяет уравнению (16.63) на всей плоскости Предположим, что выполнены неравенства (16.64) с Тогда функция и линейна.

Далее мы покажем, что эта теорема является также следствием оценки Гёльдера единичной нормали к графику .