3.5. Неравенство Харнака
Из принципа максимума получается элементарное доказательство общего неравенства Харнака для равномерно эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными. Обозначая через 
открытый круг радиуса 
с центром в начале координат, мы докаркем этот результат в следующем виде.
Теорема 3.10. Пусть и 
неотрицательное решение уравнения
Рис. 1
в круге 
Предположим, что оператор 
равномерно эллиптичен в 
Тогда для всех точек 
справедливо неравенство
в котором положительная постоянная К зависит только от величины 
называемой модулем эллиптичности оператора.
Доказательство. Отметим сначала, что так как уравнение 
и модуль 
инвариантны при подобных преобразованиях, то достаточно доказать теорему в круге 
Так как 
то из сильного принципа максимума (теорема 3.5) следует, что или 
или 
так что достаточно рассмотреть последний случай. Рассмотрим множество 
тех точек из 
в которых 
и пусть 
его связная компонента, содержащая 0. Из принципа максимума следует, что множество 
непусто, и следовательно, не ограничивая общности, можем считай», что точка 
лежит на 
Определим функции 
равенствами 
в которых 
положительная постоянная. Параболы 
имеют вершины 
, лежащие в 
и общую ось 
Если постоянная к достаточно большая (достаточно взять 
то области 
состоящие из точек области 
в которых 
имеют пересечение 
ограниченное дугами 
и лежащее в верхней половине 
(рис. 1). Функции 
удовлетворяют в 
неравенствам 
Вводя функции 
где а — положительная постоянная, которую мы выберем позднее, непосредственно вычисляем, что
и поэтому 
если 
Выберем число а
удовлетворяющим этому условию. Тогда функции
будут удовлетворять соотношениям:
Пусть теперь 
произвольная точка пересечения 
Тогда: или
или
(ii) точка z лежит в компоненте 
множества — 
такой, что 
или
(iii) точка z лежит в компоненте множества 
такой, что 
(см. рис. 1).
Имеют место только эти варианты, так как или 
или 
разделяет 
(Здесь существенным образом используется двумерно 
В случаях 
имеем:
Тем самым и и 
на 
Так как 
то мы заключаем, что 1
В частности, на сегменте 
имеем:
где
Рассмотрим теперь другие функции сравнения, аналогичные (3.22). Пусть 
Рассмотрим область
Область 
ограничена сегментом 
и дугой 
параболы 
с вершиной (0, -1), проходящей через точки 
Как и ранее, при подходящем выборе числа 
зависящего только от 
функция
будет обладать свойствами:
Из неравенства (3.23) имеем: 
на 
а так как 
то из принципа максимума следует, что
Так как 
то, полагая 
получаем, неравенство
Ясно, что постоянная К зависит только 
Если же 
то 
лежит в 
и неравенство (3.24), примененное в круге дает
Комбинируя это неравенство с (3.24), получаем
Из (3.21) непосредственно следует, что
где 
Применяя такие же рассуждения, как и при доказательстве теоремы 2.5, можно получить неравенство Харнака для произвольных областей пространства 
в следующем виде.
Следствие 3.11. Пусть в области 
выполнены условия теоремы 3.10. Тогда для любой подобласти 
существует постоянная к, зависящая только от 
такая, что справедливо неравенство
В случае единичного круга 
приведенное доказательство теоремы 
распространяется (с небольшими изменениями) и на более общее строго эллиптическое уравнение
с ограниченными коэффициентами; утверждение остается тем же самым, но постоянная К будет зависеть не только от 
но и от величин, оценивающих в 
коэффициенты. Аналогичный результат справедлив и для круга 
радиуса 
но постоянная К будет зависеть, кроме того, и от 
(см. задачу 3.4).
уравнения 
аихх 
сиуу ограничено снизу (сверху), то и постоянно.
следовательно, для любого 
найдется точка 
такая, что 
Возьмем произвольное 
и применим в круге 
неравенство (3.21). Получим неравенство и 
для всех 
Так как постоянная К не зависит от 
то отсюда следует, что 
каково бы ни было 
Устремляя 
мы получаем, что 
для произвольной точки 