3.5. Неравенство Харнака
Из принципа максимума получается элементарное доказательство общего неравенства Харнака для равномерно эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными. Обозначая через
открытый круг радиуса
с центром в начале координат, мы докаркем этот результат в следующем виде.
Теорема 3.10. Пусть и
неотрицательное решение уравнения
Рис. 1
в круге
Предположим, что оператор
равномерно эллиптичен в
Тогда для всех точек
справедливо неравенство
в котором положительная постоянная К зависит только от величины
называемой модулем эллиптичности оператора.
Доказательство. Отметим сначала, что так как уравнение
и модуль
инвариантны при подобных преобразованиях, то достаточно доказать теорему в круге
Так как
то из сильного принципа максимума (теорема 3.5) следует, что или
или
так что достаточно рассмотреть последний случай. Рассмотрим множество
тех точек из
в которых
и пусть
его связная компонента, содержащая 0. Из принципа максимума следует, что множество
непусто, и следовательно, не ограничивая общности, можем считай», что точка
лежит на
Определим функции
равенствами
в которых
положительная постоянная. Параболы
имеют вершины
, лежащие в
и общую ось
Если постоянная к достаточно большая (достаточно взять
то области
состоящие из точек области
в которых
имеют пересечение
ограниченное дугами
и лежащее в верхней половине
(рис. 1). Функции
удовлетворяют в
неравенствам
Вводя функции
где а — положительная постоянная, которую мы выберем позднее, непосредственно вычисляем, что
и поэтому
если
Выберем число а
удовлетворяющим этому условию. Тогда функции
будут удовлетворять соотношениям:
Пусть теперь
произвольная точка пересечения
Тогда: или
или
(ii) точка z лежит в компоненте
множества —
такой, что
или
(iii) точка z лежит в компоненте множества
такой, что
(см. рис. 1).
Имеют место только эти варианты, так как или
или
разделяет
(Здесь существенным образом используется двумерно
В случаях
имеем:
Тем самым и и
на
Так как
то мы заключаем, что 1
В частности, на сегменте
имеем:
где
Рассмотрим теперь другие функции сравнения, аналогичные (3.22). Пусть
Рассмотрим область
Область
ограничена сегментом
и дугой
параболы
с вершиной (0, -1), проходящей через точки
Как и ранее, при подходящем выборе числа
зависящего только от
функция
будет обладать свойствами:
Из неравенства (3.23) имеем:
на
а так как
то из принципа максимума следует, что
Так как
то, полагая
получаем, неравенство
Ясно, что постоянная К зависит только
Если же
то
лежит в
и неравенство (3.24), примененное в круге дает
Комбинируя это неравенство с (3.24), получаем
Из (3.21) непосредственно следует, что
где
Применяя такие же рассуждения, как и при доказательстве теоремы 2.5, можно получить неравенство Харнака для произвольных областей пространства
в следующем виде.
Следствие 3.11. Пусть в области
выполнены условия теоремы 3.10. Тогда для любой подобласти
существует постоянная к, зависящая только от
такая, что справедливо неравенство
В случае единичного круга
приведенное доказательство теоремы
распространяется (с небольшими изменениями) и на более общее строго эллиптическое уравнение
с ограниченными коэффициентами; утверждение остается тем же самым, но постоянная К будет зависеть не только от
но и от величин, оценивающих в
коэффициенты. Аналогичный результат справедлив и для круга
радиуса
но постоянная К будет зависеть, кроме того, и от
(см. задачу 3.4).