13.5. Применение к задаче Дирихле

Объединяя результаты теорем 11.4, 13.2, 13.4, 13.7, получаем следующую фундаментальную теорему существования.

Теорема 13.8. Пусть ограниченная область в Предположим, что оператор эллиптичен в его коэффициенты Пусть Тогда если

существует постоянная не зависящая от , такая, что любое решете класса задачи Дирихле

удовлетворяет оценке

то задаче Дирихле на разрешима в Если оператор имеет дивергентный вид или если то можно предполагагь, что

Исследование разрешимости задачи Дирихле теоремой 13.8 сводится к получению априорной оценки в пространстве решений соответствующего семейства задач. Предполагая выполненными условия теоремы 13.8, мы, таким образом, нуждаемся только в осуществлении первых трех этапов процедуры доказательства существования, описанной в разделе 11.3. Кроме того, если вместо теоремы 11.4 воспользоваться более общей теоремой 11.8, то семейство задач (13.42) в утверждении теоремы 13.8 можно заменить произвольным семейством вида

удовлетворяющим условиям:

(ii) операторы эллиптичны в при всех ;

(iii) коэффициенты достаточно гладкие; например,

Примечания

Оценки Гёльдера теорем 13.1, 13.2, 13.6 и 13.7 получены Ладыженской и Уральцевой ([145, 146, 147]). Наш метод доказательства теорем 13.6 и 13.7 несколько отличен от метода этих авторов и следует работе [282], хотя мы используем главную идею сведения к неравенству дивергентного вида для функции из (13.33). Заметим, что вместо этого при доказательстве теоремы 13.6 можно воспользоваться слабым неравенством Харнака (теорема 9.22) (см. [294]). Использования неравенств дивергентного вида можно избежать также и при доказательстве теоремы 13.7, если воспользоваться граничной оценкой Гёльдера градиента, полученной Крыловым (теорема 9.31) (см. задачу 13.1).

Задача

(см. скан)

(см. скан)