существует постоянная
не зависящая от
, такая, что любое решете класса
задачи Дирихле
удовлетворяет оценке
то задаче Дирихле
на
разрешима в
Если оператор имеет дивергентный вид или если
то можно предполагагь, что
Исследование разрешимости задачи Дирихле теоремой 13.8 сводится к получению априорной оценки в пространстве
решений соответствующего семейства задач. Предполагая выполненными условия теоремы 13.8, мы, таким образом, нуждаемся только в осуществлении первых трех этапов процедуры доказательства существования, описанной в разделе 11.3. Кроме того, если вместо теоремы 11.4 воспользоваться более общей теоремой 11.8, то семейство задач (13.42) в утверждении теоремы 13.8 можно заменить произвольным семейством вида
удовлетворяющим условиям:
(ii) операторы
эллиптичны в
при всех
;
(iii) коэффициенты
достаточно гладкие; например,
Примечания
Оценки Гёльдера теорем 13.1, 13.2, 13.6 и 13.7 получены Ладыженской и Уральцевой ([145, 146, 147]). Наш метод доказательства теорем 13.6 и 13.7 несколько отличен от метода этих авторов и следует работе [282], хотя мы используем главную идею сведения к неравенству дивергентного вида для функции
из (13.33). Заметим, что вместо этого при доказательстве теоремы 13.6 можно воспользоваться слабым неравенством Харнака (теорема 9.22) (см. [294]). Использования неравенств дивергентного вида можно избежать также и при доказательстве теоремы 13.7, если воспользоваться граничной оценкой Гёльдера градиента, полученной Крыловым (теорема 9.31) (см. задачу 13.1).
Задача
(см. скан)