9.3. Интерполяционная теорема Марцинкевича

Пусть измеримая функция в (ограниченной или неограниченной) области Функция распределения функции определяется при равенством

Отметим, что функция невозрастает на , Основные свойства функции распределения описываются в следующей лемме.

Лемма 9.7. Для любого и любой функции такой, что справедливы соотношения:

Доказательство. Ясно, что

для всех Тем самым доказано (9.22). Если то по теореме Фубини имеем

Отсюда следует (9.23).

Докажем интерполяционную теорему Марцинкевича в следующем частном случае.

Теорема 9.8. Пусть линейное отображение в себя, Предположим, что существуют такие постоянные и что

для всех: для любого из интервала отображение продолжается до ограниченного линейного отображения из в себя и для всех справедливо неравенство

в котором а постоянная С зависит только от

Доказательство. Для запишем где

Тогда и поэтому

Отсюда по лемме 9.7 получаем

Полученные неравенства справедливы при произвольном . В частности, можно взять зависящее от Беря или где А — положительное число, получаем неравенство

Так как

и

то

для любого положительного числа А. Выбирая значение А такое, чтобы выражение в скобках было минимальным, т. е., полагая получаем неравенство

а это и есть доказываемое неравенство (9.25) с постоянной