17.1. Принципы максимума и сравнения
Принципы максимума и сравнения, полученные в гл. 10 для квазилинейных уравнений, достаточно просто в общем виде переносятся на вполне нелинейные уравнения. Докажем следующий вариант принципа сравнения.
Теорема 17.1. Пусть функции
удовлетворяют неравенствам:
и пусть выполнены условия:
(i) функция
непрерывно дифференцируема по
в
(ii) оператор
эллиптичен на всех функциях вида в
;
(iii) функция
не возрастает по z в каждой точке
Тогда
Доказательство, Обозначая
имеем
Из условий
следует, что оператор
удовлетворяет условиям слабого принципа мак
(теорема 3.1), и потому
Условия теоремы 17.1 можно, очевидно, ослабить. Из сильного принципа максимума (теорема 3.5) следует, что или
или
совпадают друг с другом, Из теоремы 17.1 непосредственно следует теорема единственности для задачи Дирихле.
Следствие 17.2. Пусть функции
удовлетворяют равенствам
на
Предположим, что выполнены условия
теоремы 17.1. Тогда
Принципы максимума, оценки Гёльдера решений и граничные оценки градиента для вполне нелинейных уравнений часто могут быть выведены прямо из соответствующих результатов для квазилинейных уравнений. Если
то оператор
можно записать в виде
где
В частности, если ввести
то из теорем 10.3 и 10.4 получается следующая теорема.
Теорема 17.3. Пусть оператор
эллиптичен в
Предположим, что существуют неотрицательные постоянные
и такие, что
Тогда если функция
удовлетворяет в
неравенству
(уравнению
где
Для уравнений типа уравнения Монжа - Ампера принцип максимума, аналогичный теореме 10.5, может быть получен прямо из леммы 9.4.
Теорема 17.4. Пусть оператор
определен формулой (17.4). Предположим, что существуют неотрицательные функции
и постоянная
такие, что
Тогда если функция
удовлетворяет в
неравенству
(уравнению
), то
где постоянная С зависит только от
. В частности, если функция
определена формулой (17,2), то
а если функция
определена формулой (17.3), то оценка (17.15) выполнять с постоянной
при условии, что
В заключение этого раздела заметим, что предыдущие результаты и их доказательства могут быть обобщены и на случай недифференцируемой функции
. В частности, справедливо следующее обобщение принципа сравнения (теорема 17.1).