17.1. Принципы максимума и сравнения

Принципы максимума и сравнения, полученные в гл. 10 для квазилинейных уравнений, достаточно просто в общем виде переносятся на вполне нелинейные уравнения. Докажем следующий вариант принципа сравнения.

Теорема 17.1. Пусть функции удовлетворяют неравенствам: и пусть выполнены условия:

(i) функция непрерывно дифференцируема по в

(ii) оператор эллиптичен на всех функциях вида в ;

(iii) функция не возрастает по z в каждой точке

Тогда

Доказательство, Обозначая

имеем

Из условий следует, что оператор удовлетворяет условиям слабого принципа мак (теорема 3.1), и потому

Условия теоремы 17.1 можно, очевидно, ослабить. Из сильного принципа максимума (теорема 3.5) следует, что или или совпадают друг с другом, Из теоремы 17.1 непосредственно следует теорема единственности для задачи Дирихле.

Следствие 17.2. Пусть функции удовлетворяют равенствам на Предположим, что выполнены условия теоремы 17.1. Тогда

Принципы максимума, оценки Гёльдера решений и граничные оценки градиента для вполне нелинейных уравнений часто могут быть выведены прямо из соответствующих результатов для квазилинейных уравнений. Если то оператор можно записать в виде

где

В частности, если ввести

то из теорем 10.3 и 10.4 получается следующая теорема.

Теорема 17.3. Пусть оператор эллиптичен в Предположим, что существуют неотрицательные постоянные и такие, что

Тогда если функция удовлетворяет в неравенству (уравнению

где

Для уравнений типа уравнения Монжа - Ампера принцип максимума, аналогичный теореме 10.5, может быть получен прямо из леммы 9.4.

Теорема 17.4. Пусть оператор определен формулой (17.4). Предположим, что существуют неотрицательные функции и постоянная такие, что

Тогда если функция удовлетворяет в неравенству (уравнению ), то

где постоянная С зависит только от . В частности, если функция определена формулой (17,2), то

а если функция определена формулой (17.3), то оценка (17.15) выполнять с постоянной при условии, что

В заключение этого раздела заметим, что предыдущие результаты и их доказательства могут быть обобщены и на случай недифференцируемой функции . В частности, справедливо следующее обобщение принципа сравнения (теорема 17.1).

Теорема 17.5. Пусть функции удовлетворяют неравенствам: на Цусгь выполнены условия

(i) функция локально равномерно липшицева по в

(ii) оператор эллиптичен в ;

(iii) функция не возрастает по z в каждой точке ;

(iv) отношение локально ограничено в

Тогда в

Из этой теоремы, в частности, следует, что принцип сравнения справедлив для уравнения Беллмана (17.8), если выполнено (17.9) и если для всех а отношение локально ограничено в равномерно по . В силу принципа максимума для сильных решений (теорема 9.1) все результаты этого раздела применимы к функциям