13.3. Уравнения общего вида; внутренняя оценка

Исследование эллиптических уравнений общего вида (13.1) проведем следующим образом: покажем, что некоторые комбинации производных решений являются обобщенными субрешениями линейных эллиптических уравнений дивергентного вида. Требуемая оценка Гёльдера в этом случае получается из слабых неравенств Харнака (теоремы 8.18 и 8.26).

Предположим, что коэффициенты оператора принадлежат соответственно Пусть Предположим сначала, что и Дифференцируя по получаем уравнение

где дифференциальный оператор, определенный равенством

Уравнение (13.13) можно записать в дивергентном виде:

Обозначим Умножим уравнение (13.16) на просуммируем получающиеся уравнения по к от 1 до Получим

Определим функции

где Объединяя (13.16) и (13.17), приходим к уравнению

Обозначим

Запишем уравнение в интегральном виде:

для всех Мы утверждаем, что интегральное тождество (13.20) остается справедливым для решений уравнения (13.1) из Чтобы убедиться в этом, рассмотрим последовательность функций , приближающих функцию и в метрике Это значит, Последовательность сходится к равномерно на компактных подмножествах при всех Так как то равномерно на компактных подмножествах Поэтому, переходя к пределу в интегральном тождестве (13.20) для приходим к тождеству (13.20) для и. Отметим, что аналогичные аппроксимационные рассуждения показывают, что в действительности достаточно предполагать, что и

В дальнейшем нам потребуется в (13.20) убрать слагаемые, содержащие Так как оператор эллиптичен, то

где Из (13.20) с помощью неравенства Шварца получаем:

какова бы ни была неотрицательная функция . Чтобы осуществить сведение к линейной теории, заменим в (13.21) на где Пусть

Тогда

для всех неотрицательных функций т. е. функция удовлетворяет неравенству

в обобщенном смысле. Заменяя, если это необходимо, область ее подобластью, мы можем предаолагать, что оператор строго эллиптичен в и что коэффициенты и ограничены.

Пусть у — положительное число. Введем функции Покажем, что из выполнения неравенства (13.23) при всех достаточно больших следует оценка Гёльдера производных Выбирая у достаточно большим, мы можем добиться того, что функции ведут себя в определенном смысле так же, как и функции Оказывается, что достаточно взять где Выберем у таким образом. Тогда если — произвольное подмножество таково, что

то, как легко видеть,

Записывая для краткости в виде и полагая имеем

Теперь мы можем применить слабое неравенство Харнака (теорема 8.18). Пусть Функции являются неотрицательными суперрешениями в уравнения

Поэтому, взяв числа и их так, что

для всех и полагая в теореме 8.18, получаем оценку

где Используя (13.25),

получаем, что или для или для справедливо неравенство

Предположим, что это неравенство имеет место для Тогда из (13.27) имеем

Поэтому, обозначив получаем неравенство

где

Нам потребуется теперь следующее обобщение леммы 8.23. Лемма 13.5. Пусть неубывающие неотрицательные на интервале функции такие, что для каждого имеется функция удовлетворяющая неравенствам

и

где неубывающая функция, для любого и любого выполняется неравенство

где положительные постоянные, а

Доказательство леммы 13.5 аналогично доказательству леммы 8.23 и поэтому опускается. Если мы теперь возьмем произвольный вложенный в шар то из леммы 13.5 для следует, что для любого

где Следовательно, мы получили требуемую внутреннюю оценку.

Теорема 13.6. Пусть функция и удовлетворяет уравнению оператор эллиптичен в коэффициенты в произвольной области

имеет место оценка

где