ГЛАВА 7. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА

Для того чтобы показать возможные применения излагаемой в этой главе теории, мы сейчас рассмотрим отличный от использованного в гл. 4 подход к изучению разрешимости задачи Дирихле для уравнения Пуассона. По теореме о дивергенции (формула (2.3)) решение и уравнения удовлетворяет интегральному тождеству

для всех . Билинейная форма

является скалярным произведением в и пополнение пространства по метрике, порождаемой скалярным произведением (7.2), является, следовательно, гильбертовым пространством, которое мы будем обозначать через Кроме этого, для подходящей функции линейный функционал определенный на пространстве Со (12) равенством может быть продолжен как ограниченный линейный функционал на Тогда по теореме представления Рисса (теорема 5.8) существует элемент и который удовлетворяет равенству для всех . Таким образом, мы получаем совсем простое доказательство существования обобщенного решения задачи Дирихле на Вопрос о существовании классического решения сводится к вопросу о регулярности обобщенного решения при достаточно гладких граничных условиях, В следующей главе при изучении эллиптических уравнений в дивергентной форме будет использована (точно так же, как только что была использована теорема представления Рисса) теорема Лакса - Мильграма (теорема 5.8) и будут установлены, исходя из интегрального тождества, утверждения о регулярности решения. Но прежде чем мы сможем это сделать, нужно будет изучить класс соболевских пространств в который входит и пространство Некоторые из устанавливаемых в этой главе неравенств будут также необходимы в части II при построении теории квазилинейных уравнений.

7.1. Пространства Lр

Всюду в этой главе через мы обозначаем ограниченную область в Измеримой функцией на мы называем класс эквивалентных измеримых функций, отличающихся друг от друга только на подмножестве меры нуль. Всякое точечное свойство приписывается измеримой функции, если оно имеет место в обычном смысле для некоторой функции в этом классе эквивалентности. Точной верхней и точной нижней гранями измеримой функции мы называем ее существенные точную врехнюю и точную нижнюю грани.

Для пространство классическое банахово пространство, состоящее из измеримых на функций, степень которых интегрируема по Норма в определяется равенством

Для векторной или матричной функции и мы будем использовать аналогичные понятия. Через обозначается обычная евклидова норма. Для пространство банахово пространство функций, ограниченных на с нормой

В дальнейшем мы будем использовать запись вместо в случаях, когда такая запись не вызывает неясности.

Для осуществления интегральных оценок нам будут необходимы следующие неравенства.

Неравенство Юнга

имеющее место для положительных чисел где числа связаны равенством При неравенство (7.5) является известным неравенством Коши. Заменяя в (7.5) число а на число а число на число где произвольное положительное число, мы получаем интерполяционное неравенство

Неравенство Гёльдера

имеющее место для функций и Это неравенство следует из неравенства Юнга. При неравенство Гёльдера является хорошо известным неравенством Шварца.

Выражение (7.3) определяет норму в Этот факт является следствием неравенства Гёльдера. Отметим некоторые другие простые следствия неравенства Гёльдера:

где

Объединяя неравенства (7.6) и (7,9), мы приходим к интерполяционному неравенству для Lp-норм, а именно

где

Мы будем также по мере надобности пользоваться обобщенным неравенством Гёльдера для функций принадлежащих соответственно, где Оно имеет вид

и получается из случая по индукции.

Интересно рассмотреть -норму как функцию Пусть

для В силу неравенства неубьшающая функция от при фиксированной функции и. Неравенство (7.9) означает, что

логарифмически выпуклая функция аргумента Отметим, что при Несмотря на то, что функционал не является нормой для он, однако, будет полезен в дальнейшем

Отметим здесь также хорошо известные функционально-аналитические свойства пространств (см., например, Ройден [249]). Пространство сепарабельно при Пространство образует плотное подпространство. Сопряженное пространство к изоморфно пространству где Следовательно, пространство рефлексивно при Показатель определяемый из равенства называется сопряженным по Гёльдеру показателем для показателя Мы будем часто обозначать его через Наконец, пространство гильбертово пространство со скалярным произведением