14.1. Общие области

Начнем с построений барьеров для произвольной гладкой области. Предположим, что область удовлетворяет условию внешней сферы в точке Это значит, что существует шар такой, что Определим функцию расстояния

и положим где . В силу формулы (14.4) имеем для любой фуйкции и

При вычислениях и оценках мы использовали равенство.

Предположим теперь, что оператор удовлетворяет структурному условию: существует такая неубывающая функция что

для всех Используя условие (14.9) в неравенстве (14.8), получаем неравенство

если только где

смотрим функцию определенную равенством

и окрестность точки Ясно, что Кроме того,

и

если Следовательно, если числа выбраны так, что одновременно выполняются соотношения

то функция - является верхним барьером в точке для оператора и функции коль скоро на

Аналогично функция является нижним барьером. Таким образом, если то из (14.3) следует оценка

если в (14.14) имеет место равенство. Поскольку оценки всей этой главы получаются по существу с помощью аналогичных рассуждений, в которых поверхность заменяется другими поверхностями, ситуацию целесообразно проиллюстрировать на рис. 2.

Обобщим теперь оценку (14.15) на случай ненулевых граничных значений. Пусть Предположим, чтои Потребуем, чтобы

Рис. 2

преобразованный оператор, определяемый равенством (14.5), удовлетворял структурному условию (14.9). Для этого достаточно, чтобы с некоторой неубывающей функцией выполнялось неравенство

для всех таких что Так как (используем неравенство Шварца)

то из структурного условия (14.9) следует (14.16), если только мы выберем Следовательно, будет иметь место оценка (14.15), в которой и заменяется на заменяется на Итак, мы можем утверждать справедливость следующей граничной оценки градиента.

Теорема 14.1. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению на Предположим, что область удовлетворяет равномерному условию внешней сферы Яусгь выполнено структурное условие (14.9). Тогда справедлива оценка

где радиус внешней сферы.

Условие (14.9) часто удобно писать в виде

причем предельное поведение по понимается здесь как равномерное в для произвольного . В частности, если оператор равномерно эллиптичен в при любом т. е. кроме того, то структурное условие (14.9) выполнено.