ГЛАВА 15. ГЛОБАЛЬНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ ГРАДИЕНТА

В этой главе мы будем в основном заниматься получением априорных оценок градиентов решений класса квазилинейных эллиптических уравнений вида

через значения градиента на границе и через значения самого решения. Получающиеся оценки нужны для осуществления этапа III процедуры доказательства разрешимости, описанной в разделе 11.3. В комбинации с оценками глав 10, 13 и 14 они приводят к теоремам существования для широкого класса квазилинейных эллиптических уравнений, включающего равномерно эллиптические уравнения и уравнения типа уравнения поверхностей с заданной средней кривизной (10.7). Так как методы этой главы используют дифференцирование уравнения (15.1), будут вводиться структурные условия и на производные коэффициентов . В разделе 15.4 мы покажем, что эти условия о производных могут быть определенным образом ослаблены для уравнений дивергентного вида, при изучении которых используются другие методы.

В этой главе мы рассмотрим также и получение априорных внутренних оценок градиента. Такого рода оценки приводят к теоремам существования для задачи Дирихле в предположении только непрерывности граничных значений. Внутренние оценки градиента для уравнений типа уравнения поверхностей с заданной средней кривизной будут рассматриваться в гл. 16.

15.1. Принцип максимума для градиента

Начнем с оценки градиента при относительно простых условиях, чтобы проиллюстрировать технику, используемую в следующем разделе. Предположим, что старшие коэффициенты оператора можно записать в виде

где , а матрица неотрицательна. Укажем примеры уравнений, старшие коэффициенты которых допускают такое представление.

(i) если оператор эллиптичен и его старшие коэффициенты зависят только от то, очевидно, можно взять ;

(ii) уравнение Эйлера — Лагранжа, соответствующее кратному интегралу

с функцией имеет вид

В этом случае представление (15.2) имеет место, если взять

в предположении, что ;

(iii) в частном случае двух переменных всегда можно представить

где

При таким образом, уравнение (15.1) эквивалентно уравнению

где Представление (15.2) для уравнения (15.6) имеет место

Основная идея используемого нами метода получения оценок градиента, восходящая к работам Бернштейна [25], состоит в следующем: уравнение (15.1) дифференцируется по переменным получающиеся уравнения умножаются на и суммируются по в итоговом уравнении используется принцип максимума для функции

Используя (15.2), мы можем записать уравнение (15.1) в виде

Предполагая, что решение и дифференцируя по получим уравнение:

Умножим его на и просуммируем получающиеся уравнения по :

здесь — дифференциальный оператор, определенный на функциях из и имеющий вид

Далее, применив следствие неравенства Шварца вида

получаем неравенство

Поэтому, если выполняется неравенство

в то из классического принципа максимума, теорема 3.1,

непосредственно получаем, что Чтобы обобщить этот

зултат на решения класса запишем уравнение (15.7) в дивергентном виде

Соответствующее ему интегральное тождество имеет вид

для всех (см. уравнение (13.17)). С помощью аппроксимации, так же, как в разделе 13.3, показываем, что уравнение (15.12) остается справедливым для и Интегрируя слагаемое по частям и поступая далее так же, как мы это делали для решений класса приходим к неравенству

где Равенство следует тогда из принципа максимума (теорема 8.1).

Итак, мы доказали следующий принцип максимума для градиента. Теорема 15.1. Пусть функция и удовлетворяет уравнению (15.1) в ограниченной области Предположим, что оператор эллиптичен в а его коэффициенты удовлетворяют (15.2) и (15.11). Тогда имеет место равенство

Из проведенного доказательства следует, что достаточно, чтобы условия (15.2) и (15.11) (см. формулировку теоремы 15.1) выполнялись только при Кроме того, если эти условия имеют место при с некоторой постоянной то вместо (15.14) получается оценка

Оценка (15.15) получается с помощью применения теоремы 15.1 в области

Отметим, что когда теорема 15.1 применяется к примерам в которых то условие (15.11) имеет вид

В частности, принцип максимума градиента имеет место при