5.8. Теорема Лакса — Мильграма
Теорема представления Рисса достаточна для рассмотрения линейных эллиптических уравнений, появляющихся из вариационных задач, т.е. являющихся уравнениями Эйлера — Лагранжа некоторых кратных интегралов. Для исследования общих уравнений дивергентной формы нам потребуется некоторое обобщение теоремы 5.7, данное Лаксом и Мильграмом. Билинейная форма В на гильбертовом протранстве
назьюается ограниченной, если существует такая постоянная К, что
Определенная на гильбертовом пространстве
билинейная форма В назьюается коэрцитивной, если существует такое число
что
В частности, ограниченной и коэрцитивной билинейной формой является само скалярное произведение.
Теорема 5.8. Пусть В - ограниченная коэрцитивная билинейная форма на гильбертовом пространстве
Тогда для любого ограниченного линейного функционала
существует единственный элемент
такой, что
Доказательство. В силу теоремы 5.7 существует линейное отображение
определенное равенством
для всех