5.8. Теорема Лакса — Мильграма

Теорема представления Рисса достаточна для рассмотрения линейных эллиптических уравнений, появляющихся из вариационных задач, т.е. являющихся уравнениями Эйлера — Лагранжа некоторых кратных интегралов. Для исследования общих уравнений дивергентной формы нам потребуется некоторое обобщение теоремы 5.7, данное Лаксом и Мильграмом. Билинейная форма В на гильбертовом протранстве назьюается ограниченной, если существует такая постоянная К, что

Определенная на гильбертовом пространстве билинейная форма В назьюается коэрцитивной, если существует такое число что

В частности, ограниченной и коэрцитивной билинейной формой является само скалярное произведение.

Теорема 5.8. Пусть В - ограниченная коэрцитивная билинейная форма на гильбертовом пространстве Тогда для любого ограниченного линейного функционала существует единственный элемент такой, что

Доказательство. В силу теоремы 5.7 существует линейное отображение определенное равенством для всех

. Кроме того, в силу оператор ограничен. А из (5.11) получаем

Следовательно,

Полученная оценка означает, что отображение является взаимно однозначным, его область значений замкнута (см. задачу 5.3), и обратное отображение ограничено. Предположим, что не является отображением на все Тогда существует такой элемент что для всех . Выбирая , получим равенство из которого в силу (5.11) следует, что Таким обраом, ограниченное линейное отображение определено на всем для всех и некоторого единственного элемента Тем самым установлено утверждаемое теоремой представление с