3.1. Слабый принцип максимума
Для многих приложений достаточно следующего слабого принципа максимума.
Теорема 3.1. Пусть 
эллиптический оператор в ограниченной области 12. Предположим, что и 
и что
тогда максимум (минимум) функции и в 12 достигается на 
т. е.
Утверждение остается в силе, если предполагать только локальную ограниченность в 12 отношений 
например, достаточно, чтобы 
Если же не предполагать непрерывность и в 12, то вместо (3.5) справедливо равенство
Доказательство. Легко видеть, что если 
в 12, то справедлив сильный принцип максимума, означающий, что функция и не может иметь внутренний максимум в 12. В каждой точке внутреннего максимума 
справедливы соотношения 
матрица 
неположительна. Однако, поскольку в силу эллиптичности оператора 
матрица 
положительна, то 
а это противоречит неравенству 
(Отметим, что проведенные рассуждения используют только полуопределенность матрицы 
В силу условия (3.3) имеем 
Так как 
то существует такая достаточно большая постоянная у, что
Следовательно, для любого 
в Я выполняется неравенство 
Поэтому в силу доказанного ранее
Устремляя 
получим равенство 
что и утверждалось в теореме.
Замечание. Из доказательства видно, что утверждение теоремы справедливо при следующих более слабых предположениях: матрица 
неотрицательна и для некоторого к отношение 
локально ограничено.
Для удобства введем следующую терминологию, связанную с принципом максимума. Функцию 
удовлетворяющую равенству 
(неравенству 
неравенству 
в 
, будем называть решением (субрешением, суперрешением) уравнения 
в 
. В случае, когда оператор 
является лапласианом, введенные понятия переходят соответственно в понятия гармонической, субгармонической и супергармонической функции.
Рассмотрим теперь более общий случай: 
в 
. Обозначим через 
подмножество 
, на котором 
Ясно, что если 
в 
, то 
Поэтому максимум и на 
должен достигаться на 
и следовательно, на 
Полагая тогда 
мы получаем следующее утверждение.
Следствие 3.2. Пусть оператор 
эллиптичен в ограниченной области 
. Предположим, что и 
и в 
выполняются неравенства
тогда
Если 
, то
Из существования положительных собственных значений к задачи 
на 
следует, что для операторов с положительным коэффициентом с это утверждение, вообще говоря, неверно.
Непосредственным и важным применением слабого принципа максимума является вывод теорем единственности и теорем о непрерывной зависимости решений от их граничных значений. Из следствия 3.2 автоматически следуют теоремы единственности решения классической задачи Дирихле для оператора 
и принцип сравнения, являющиеся типичной формой применения этого следствия.
эллиптичен в 
и пусть 
Предположим, что функции и и и, принадлежащие 
, удовлетворяют равенствам 
на 
. Тогда 
Если 
на 