3.1. Слабый принцип максимума
Для многих приложений достаточно следующего слабого принципа максимума.
Теорема 3.1. Пусть
эллиптический оператор в ограниченной области 12. Предположим, что и
и что
тогда максимум (минимум) функции и в 12 достигается на
т. е.
Утверждение остается в силе, если предполагать только локальную ограниченность в 12 отношений
например, достаточно, чтобы
Если же не предполагать непрерывность и в 12, то вместо (3.5) справедливо равенство
Доказательство. Легко видеть, что если
в 12, то справедлив сильный принцип максимума, означающий, что функция и не может иметь внутренний максимум в 12. В каждой точке внутреннего максимума
справедливы соотношения
матрица
неположительна. Однако, поскольку в силу эллиптичности оператора
матрица
положительна, то
а это противоречит неравенству
(Отметим, что проведенные рассуждения используют только полуопределенность матрицы
В силу условия (3.3) имеем
Так как
то существует такая достаточно большая постоянная у, что
Следовательно, для любого
в Я выполняется неравенство
Поэтому в силу доказанного ранее
Устремляя
получим равенство
что и утверждалось в теореме.
Замечание. Из доказательства видно, что утверждение теоремы справедливо при следующих более слабых предположениях: матрица
неотрицательна и для некоторого к отношение
локально ограничено.
Для удобства введем следующую терминологию, связанную с принципом максимума. Функцию
удовлетворяющую равенству
(неравенству
неравенству
в
, будем называть решением (субрешением, суперрешением) уравнения
в
. В случае, когда оператор
является лапласианом, введенные понятия переходят соответственно в понятия гармонической, субгармонической и супергармонической функции.
Рассмотрим теперь более общий случай:
в
. Обозначим через
подмножество
, на котором
Ясно, что если
в
, то
Поэтому максимум и на
должен достигаться на
и следовательно, на
Полагая тогда
мы получаем следующее утверждение.
Следствие 3.2. Пусть оператор
эллиптичен в ограниченной области
. Предположим, что и
и в
выполняются неравенства
тогда
Если
, то
Из существования положительных собственных значений к задачи
на
следует, что для операторов с положительным коэффициентом с это утверждение, вообще говоря, неверно.
Непосредственным и важным применением слабого принципа максимума является вывод теорем единственности и теорем о непрерывной зависимости решений от их граничных значений. Из следствия 3.2 автоматически следуют теоремы единственности решения классической задачи Дирихле для оператора
и принцип сравнения, являющиеся типичной формой применения этого следствия.