Поделив пополам каждое ребро куба и проведя через них плоскости, параллельные граням куба
разобьем куб
на
конгруэнтных непересекающихся подкубов. Те подкубы К, которые удовлетворяют неравенству
разобьем аналогичным образом. Процесс разбиения продолжаем до бесконечности. Пусть
— множество подкубов
в которых выполнены неравенства
Для каждого
через К обозначим куб, разбиение которого содержит К. Так как
то для любого
справедливо неравенство
Более того, введя
имеем
Неравенство (9.18) является следствием теоремы Лебега о дифференцировании [275], так как каждая точка
лежит в убьюающей последовательности вложенных друг в друга кубов, на которых выполняются неравенства (9.16) и диаметры которых стремятся к нулю.
Для получения в разделе 9.7 поточечных оценок нам потребуется множество
Ясно, в силу (9.16), что справедливо неравенство
В частности, если
где
характеристическая функция лежащего в
измеримого множества
из (9.18) и (9.19) получаем, что