9.2. Оценки в Lp; предварительный анализ

Основным методом получения оценок в в этой главе является метод интерполяции. В этом разделе мы построим некоторый вспомогательный аппарат — процедуру разбиения куба, которая потребуется нам для оценок Гёльдера в разделе 9.7 и в следующем разделе для получения интерполяционной теоремы Марцинкевича.

Разбиение куба. Пусть куб в неотрицательная интегрируемая функция, определенная на Пусть положительное число, удовлетворяющее неравенству

Поделив пополам каждое ребро куба и проведя через них плоскости, параллельные граням куба разобьем куб на конгруэнтных непересекающихся подкубов. Те подкубы К, которые удовлетворяют неравенству

разобьем аналогичным образом. Процесс разбиения продолжаем до бесконечности. Пусть — множество подкубов в которых выполнены неравенства

Для каждого через К обозначим куб, разбиение которого содержит К. Так как то для любого справедливо неравенство

Более того, введя имеем

Неравенство (9.18) является следствием теоремы Лебега о дифференцировании [275], так как каждая точка лежит в убьюающей последовательности вложенных друг в друга кубов, на которых выполняются неравенства (9.16) и диаметры которых стремятся к нулю.

Для получения в разделе 9.7 поточечных оценок нам потребуется множество

Ясно, в силу (9.16), что справедливо неравенство

В частности, если где характеристическая функция лежащего в измеримого множества из (9.18) и (9.19) получаем, что