Поделив пополам каждое ребро куба и проведя через них плоскости, параллельные граням куба 
разобьем куб 
на 
конгруэнтных непересекающихся подкубов. Те подкубы К, которые удовлетворяют неравенству
разобьем аналогичным образом. Процесс разбиения продолжаем до бесконечности. Пусть 
— множество подкубов 
в которых выполнены неравенства
Для каждого 
через К обозначим куб, разбиение которого содержит К. Так как 
то для любого 
справедливо неравенство
Более того, введя 
имеем
Неравенство (9.18) является следствием теоремы Лебега о дифференцировании [275], так как каждая точка 
лежит в убьюающей последовательности вложенных друг в друга кубов, на которых выполняются неравенства (9.16) и диаметры которых стремятся к нулю.
Для получения в разделе 9.7 поточечных оценок нам потребуется множество
Ясно, в силу (9.16), что справедливо неравенство
В частности, если 
где 
характеристическая функция лежащего в 
измеримого множества 
из (9.18) и (9.19) получаем, что
в этой главе является метод интерполяции. В этом разделе мы построим некоторый вспомогательный аппарат — процедуру разбиения куба, которая потребуется нам для оценок Гёльдера в разделе 9.7 и в следующем разделе для получения интерполяционной теоремы Марцинкевича.
куб в 
неотрицательная интегрируемая функция, определенная на 
Пусть 
положительное число, удовлетворяющее неравенству
