13.4. Уравнения общего вида; граничная оценка

Предположим теперь, что оператор эллиптичен в а его коэффициенты принадлежат соответственно. Пусть Предположим, что на 912, где Заменяя и на мы можем без ограничения общности предполагать, что на . Кроме того, если открытое подмножество и замена является заменой независимых переменных класса то для имеем

Следовательно, уравнение рассматриваемое в преобразуется в уравнение в где а оператор удовлетворяет тем же условиям, что Таким образом, достаточно рассмотреть уравнение (13.1) в окрестности плоского куска границы. Пусть открытое множество в такое, что Определим функции следующим образом:

Ясно, что на и что функция удовлетворяет уравнению (13.20), в котором суммирование по к производится от 1 до этом случае

Отсутствующая здесь частная производная оценивается с помощью уравнения (13.1), если его записать в виде

Подставляя (13.34) в (13.20) и поступая так же, как и в предыдущем разделе, мы приходим к интегральному неравенству (13.22), в котором заменяется на а функции заменяются соответственно на функции

и

Рассматривая шары с центром в , применяя вместо внутреннего неравенства Харнака (теорема 8.18) слабое граничное неравенство Харнака (теорема 8.26) и повторяя доказательство, изложенное в предыдущем разделе, получим граничную оценку Гёльдера для тангенциальных производных . Таким образом, для любого шара с центром и для любого имеет место оценка

где

Переход от оценки (13,35) к оценке оставшейся производной аналогичен соответствующему шагу для уравнений дивергентного вида, описанному в разделе 13.1. Пусть и пусть - постоянная, равная если С и равная . если Если функция задана равенством (13.33), то функция неотрицательна и принадлежит Подставляя в интегральное неравенство (13.22) для получаем неравенство

где Далее возьмем функцию удовлетворяющей условиям: Тогда, обозначив множество через имеем:

в силу (13.30) и (13.35), где Полагая в (13.31), приходим при (в этом случае ) к неравенству

Если то полагаем в . Вновь получаем оценку (13.37), поскольку в каждой точке по крайней мере одна из функций неотрицательна. Следовательно,

для любой точки , и любого если только

Учитывая (13.34), видим, что оценка (13.38) справедлива также и для

Следовательно, по теореме 7.19

где Наконец, возвращаясь к исходной области и исходному граничному значению получаем основную глобальную оценку Гёльдера, установленную Ладыженской и Уральцевой.

Теорема 13.7. Пусть функция и удовлетворяет уравнению оператор эллиптичен в его коэффициенты Тогдаесли на кмеег место оценка

где

и

Анализ доказательств теорем 13.6 и 13.7 показывает, что оценки (13.31) и (13,40) остаются справедливыми для где . В этом случае можно взять и постоянные С и а буду зависеть от

Кроме того, из рассмотрений этой главы вытекает, что глобальная и внутреняя оценки Гельдера могут быть получены как специальный случай частично внутренней оценки. А именно: предположим, что оператор удовлетворяет условиям теоремы 13.7. Пусть кусок границы , принадлежащий классу такой, что на Тогда если то для любой подобласти имеет место оценка

где

и