13.4. Уравнения общего вида; граничная оценка
Предположим теперь, что оператор
эллиптичен в
а его коэффициенты
принадлежат
соответственно. Пусть
Предположим, что
на 912, где
Заменяя и на
мы можем без ограничения общности предполагать, что
на
. Кроме того, если
открытое подмножество
и замена
является заменой независимых переменных класса
то для
имеем
Следовательно, уравнение
рассматриваемое в преобразуется в уравнение
в где
а оператор
удовлетворяет тем же условиям, что
Таким образом, достаточно рассмотреть уравнение (13.1) в окрестности плоского куска границы. Пусть
открытое множество в
такое, что
Определим функции
следующим образом:
Ясно, что
на
и что функция
удовлетворяет уравнению (13.20), в котором суммирование по к производится от 1 до
этом случае
Отсутствующая здесь частная производная
оценивается с помощью уравнения (13.1), если его записать в виде
Подставляя (13.34) в (13.20) и поступая так же, как и в предыдущем разделе, мы приходим к интегральному неравенству (13.22), в котором
заменяется на
а функции
заменяются соответственно на функции
и
Рассматривая шары с центром в
, применяя вместо внутреннего неравенства Харнака (теорема 8.18) слабое граничное неравенство Харнака (теорема 8.26) и повторяя доказательство, изложенное в предыдущем разделе, получим граничную оценку Гёльдера для тангенциальных производных
. Таким образом, для любого шара
с центром
и для любого
имеет место оценка
где
Переход от оценки (13,35) к оценке оставшейся производной
аналогичен соответствующему шагу для уравнений дивергентного вида, описанному в разделе 13.1. Пусть
и пусть
- постоянная, равная
если С и равная
. если
Если функция
задана равенством (13.33), то функция
неотрицательна и принадлежит
Подставляя
в интегральное неравенство (13.22) для
получаем неравенство
где
Далее возьмем функцию
удовлетворяющей условиям:
Тогда, обозначив множество
через
имеем:
в силу (13.30) и (13.35), где
Полагая
в (13.31), приходим при
(в этом случае
) к неравенству
Если
то полагаем в
. Вновь получаем оценку (13.37), поскольку в каждой точке
по крайней мере одна из функций
неотрицательна. Следовательно,
для любой точки
, и любого
если только
Учитывая (13.34), видим, что оценка (13.38) справедлива также и для
Следовательно, по теореме 7.19
где
Наконец, возвращаясь к исходной области
и исходному граничному значению
получаем основную глобальную оценку Гёльдера, установленную Ладыженской и Уральцевой.
Теорема 13.7. Пусть функция и
удовлетворяет уравнению
оператор
эллиптичен в
его коэффициенты
Тогдаесли
на
кмеег место оценка
где
и
Анализ доказательств теорем 13.6 и 13.7 показывает, что оценки (13.31) и (13,40) остаются справедливыми для
где
. В этом случае можно взять
и постоянные С и а буду зависеть от
Кроме того, из рассмотрений этой главы вытекает, что глобальная и внутреняя оценки Гельдера могут быть получены как специальный случай частично внутренней оценки. А именно: предположим, что оператор
удовлетворяет условиям теоремы 13.7. Пусть
кусок границы
, принадлежащий классу
такой, что
на
Тогда если
то для любой подобласти
имеет место оценка
где
и