7.7. Теоремы вложения

Этот и следующий разделы посвящены изучению связи между значениями в точках и интегральными свойствами слабо дифференцируемых функций и их производных. Один из простейших результатов такого типа имеет вид: слабо дифференцируемая функция одной переменной обязательно абсолютно непрерывна. В этом разделе мы докажем хорошо известные неравенства Соболева для функций из

Теорема 7.10.

Более того, существует постоянная такая, что для любой функции справедливы неравенства

Доказательство. Сначала докажем оценки (7.26) для функций из Пусть Так как для любой функции и из Со (12) и для любого выполняется неравенство то

Неравенство (7.27) последовательно проинтегрируем по каждой переменной причем после каждого интегрирования применим обобщенное неравенство Гёльдера (7.11) с показателями Получим неравенство

Тем самым доказано неравенство (7.26) для случая Чтобы доказать это неравенство для остальных значений заменим и в неравенстве (7.28) некоторой степенью При в силу неравенства Гёльдера получим оценки

Для мы возьмем число у удовлетворяющим равенству Получим требуемое неравенство

В случае требуемая оценка получается немедленно, если объединить неравенства (7.34) с и (7.37) из следующего раздела. Здесь мы дадим другое доказательство, которое опирается на уже доказанную оценку в случае Введем функцию . И предположим, что Тогда получаем , т. е.

так как Теперь подставим вместо у значения где Получаем

Итерируя эти неравенства начиная с и используя оценку (7.28), придем к неравенству для любого целого При в силу утверждения задачи 7.1 получаем и поэтому Чтобы освободиться от ограничения сделаем преобразование переменных вида получим тогда

что и требовалось установить.

Для перенесения оценок (7.2) на произвольные функции и возьмем последовательность функций из Со (12), стремящуюся к и в метрике Применяя оценки (7.26) к разности мы получим, что последовательность является последовательностью Коши в при при Следовательно, предельная функция и также лежит в при и соответственно в прир и удовлетворяет оценке (7.26).

Замечание. Наилучшая постоянная С в оценке (7.26) для случая была вычислена Родемичем [248] (см. также [33], [278]), который показал, что

При это число равно хорошо известной постоянной

Будем говорить, что банахово пространство непрерывно вложено в банахово пространство , и писать если существует

ограничейное линейное взаимно однозначное отображение Теорема 7.10 может быть записана в виде:

Применив утверждение теоремы 7.10 к раз, мы придем к ее обобщению на случай пространств

Следствие 7.11.

Второй случай есть следствие первого, как и случай теоремы 7.10. Оценки (7.26) и их обобщения на пространство показывают, властности, что на можно определить эквивалентную (7.22) норму равенством

В следствии 7.11 пространство в общем случае нельзя заменить на Однако эта замена может быть обоснована для широкого класса областей. В этот класс областей входят, например, области с границами, непрерывными по Липшицу (см. теорему 7,26). Более общо: если область удовлетворяет равномерному условию внутренного конуса (это значит, что существует фиксированный конус такой, что каждая точка является вершиной конгруэнтного конусу конуса то имеют место вложения

где .