Для
мы возьмем число у удовлетворяющим равенству
Получим требуемое неравенство
В случае
требуемая оценка получается немедленно, если объединить неравенства (7.34) с
и (7.37) из следующего раздела. Здесь мы дадим другое доказательство, которое опирается на уже доказанную оценку в случае
Введем
функцию
. И предположим, что
Тогда получаем
, т. е.
так как
Теперь подставим вместо у значения
где
Получаем
Итерируя эти неравенства начиная с
и используя оценку (7.28), придем к неравенству
для любого целого При
в силу утверждения задачи 7.1 получаем
и поэтому
Чтобы освободиться от ограничения
сделаем преобразование переменных вида
получим тогда
что и требовалось установить.
Для перенесения оценок (7.2) на произвольные функции и
возьмем последовательность
функций из Со (12), стремящуюся к и в метрике
Применяя оценки (7.26) к разности
мы получим, что последовательность
является последовательностью Коши в
при
при
Следовательно, предельная функция и также лежит в
при
и соответственно в
прир
и удовлетворяет оценке (7.26).
Замечание. Наилучшая постоянная С в оценке (7.26) для случая
была вычислена Родемичем [248] (см. также [33], [278]), который показал, что
При
это число равно хорошо известной постоянной
Будем говорить, что банахово пространство непрерывно вложено в банахово пространство
, и писать
если существует
ограничейное линейное взаимно однозначное отображение
Теорема 7.10 может быть записана в виде:
Применив утверждение теоремы 7.10 к раз, мы придем к ее обобщению на случай пространств
Следствие 7.11.
Второй случай есть следствие первого, как и случай
теоремы 7.10. Оценки (7.26) и их обобщения на пространство
показывают, властности, что на
можно определить эквивалентную (7.22) норму равенством
В следствии 7.11 пространство
в общем случае нельзя заменить на
Однако эта замена может быть обоснована для широкого класса областей. В этот класс областей входят, например, области с границами, непрерывными по Липшицу (см. теорему 7,26). Более общо: если область
удовлетворяет равномерному условию внутренного конуса (это значит, что существует фиксированный конус такой, что каждая точка
является вершиной конгруэнтного конусу
конуса
то имеют место вложения
где
.