14.5. Оценки модуля непрерывности

Барьеры, построенные в разделах 14.1, 14.2 и 14.3, могут быть использованы для получения оценок граничных модулей непрерьюности для решений уравнения (14.1) класса . В частности, отметим, что если в условиях любых теорем об оценке градиента из этих разделов мы предположим, что и принадлежит лишь то вместо оценки получим оценку величины

Кроме того, оценка граничного модуля непрерывности может быть получена и в случае, когда , Чтобы показать это, зафиксируем точку , и для любого определим число такое, что выполняется неравенство при всех х, удовлетворяющих неравенству Определим функции принадлежащие равенствами

Ясно, что на выполнены неравенства

Следовательно, если оператор и функции удовлетворяют произвольному набору условий, при котором имеет место какая-либо оценка из разделов и 14.3, то

в где соответствующие барьерные функции, некоторая окрестность точки у. Так как во всех наших предыдущих конструкциях

барьеров мы имели равенство то из (14.88) следует, что

в Мы можем, следовательно, доказать справедливость следующего утверждения.

Теорема 14.15. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению и Предположим, что оператор и область удовлетворяют структурным и геометрическим условиям или теоремы 14.1, следствия 14.3, следствия 14.5, следствия 14.7, или теоремы 14.9. Тогда модуль непрерывности функции и на может быть оценен через модуль непрерывности функции на и коэффициенты оператора