Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 11.5. Вариационные задачиВ этом разделе мы рассмотрим вариационные задачи и, в частности, их связь с эллиптическими уравнениями в частных производных. Пусть
Заметим, что, поскольку и
Рассмотрим задачу (обозначим ее через
Предположим, что
Тогда функция функция
при всех
Если, кроме того, Функционал
при некотором удовлетворяющим неравенству
неотрицательна в
и, следовательно, Теорема 11.9. Пусть функционал I регулярен, а функция Прямые методы вариационного исчисления позволяют развивать другие подходы к изучению задачи Дирихле для вариационных операторов метод, преимущество которого состоит в том, что функция
и рассмотрим задачу
Для задачи справедлива следующая теорема существования. Теорема 11.10. Пусть Доказательство. Мы покажем, что функционал I полунепрерывен снизу на
в силу выпуклости функции
Если
Однако - (11.21) вытекает, что Решение задачи Теорема 11.11. Пусть
Тогда если функция Доказательство. Пусть
Так как
Отсюда
Объединение теорем 11.10 и 11.11 можно рассматривать как утверждение, аналогичное теоремам 11.4 и 11.8. Практически получение требующихся оценок для квазирешений осуществляется в три этапа, соответствующих этапам (i) оценка оценка с помощью
(iii) оценка с помощью (ii) величины
Многие оценки, полученные в гл. 10,15 и 16 (в частности, принцип сравнения (теорема 10.7)), в соответствующем виде имеют место для квазирешений вариационных задач, вследствие чего облегчается реализация указанных выше этапов. Кроме того, при соответствующих условиях на оператор Отметим, что методы, описанные выше, обобщаются на класс операторов дивергентной формы с помощью теории монотонных операторов и применимы к задачам с препятствиями. В этих случаях разрешимость задачи устанавливается для соответствующих вариационных неравенств. Для получения дальнейшей информации читатель отсылается к работам [45], [323], [159], [157], [233], [55], [123]. ПримечанияТеорема Шаудера о неподвижной точке (теорема 11.1) быйа доказана в [343] и применена Шаудером к изучению нелинейных уравнений в [345]. Теоремы 11.3 и 11.6 являются частными случаями теоремы Лере-Шаудера [160]. Наши доказательства этих теорем следуют работам Шефера [348] и Браудера [44]. Применения к изучению задачи Дирихле (теорема 11.5) описаны, следуя Гилбаргу [66]. Для уравнения (11.7) Морри ([208], с. 98) доказал теорему 11.5, предполагая выполненным только условие ограниченности наклона и не требуя в теореме 11.4 условий регулярности для В первом издании этой книги было дано доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке, следующее работе [75]. В последние годы в литературе появилось много изящных и простых доказательств этой теоремы.
|
1 |
Оглавление
|