11.5. Вариационные задачи

В этом разделе мы рассмотрим вариационные задачи и, в частности, их связь с эллиптическими уравнениями в частных производных. Пусть ограниченная область в заданная функция, принадлежащая Рассмотрим функционал определенный на равенством

Заметим, что, поскольку и градиент существует почти всюду, измерим и ограничен (раздел 7.3). Пусть функция, принадлежащая Рассмотрим значения на функциях и, принадлежащих множеству

Рассмотрим задачу (обозначим ее через вида:

найти функцию такую, что для всех

Предположим, что - решение задачи Пусть функция принадлежит Пространству

Тогда функция принадлежит при любом Таким образом, для всех Введем обозначение: Для всех имеем неравенство Следовательно,

функция имеет минимум в точке 0, откуда Дифференцируя, получаем равенство

при всех Таким образом, функция и является слабым решением уравнения Эйлера - Лагранжа

Если, кроме того, то функция является решением классической задачи Дирихле на . Следовательно, разрешимость задачи влечет разрешимость задачи Дирихле для уравнения (11.20).

Функционал будем называть регулярным, если функция строго выпукла по При регулярность эквивалентна эллиптичности оператора соответствующего уравнению Эйлера — Лагранжа. Предположим теперь что функция и удовлетворяет в уравнению (11.20) и Тогда справедливо равенство

при некотором удовлетворяющим неравенству Если мы теперь предположим, что функция выпукла по совокупности переменных т. е. матрица

неотрицательна в то получим

и, следовательно, для всех Таким образом, функция является решением вариационной задачи Если, кроме того, функционал регулярен, то из теоремы 10.1 следует, что решение и единственно. Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 11.9. Пусть функционал I регулярен, а функция выпукла по совокупности переменных Тогда вариационная задача 9 может иметь не более одного решения. Кроме этого, разрешимость задачи эквивалентна разрешимости в пространстве задачи Дирихле для уравнения Эйлера - Лагранжа: на . Другие методы

Прямые методы вариационного исчисления позволяют развивать другие подходы к изучению задачи Дирихле для вариационных операторов Прямые методы, использующие включение множества в качестве подмножества в подходящее пространство слабо дифференцируемых функций, рассмотрены в [147] и [208]. Мы кратко опишем другой

метод, преимущество которого состоит в том, что функция может и не быть функцией класса а решения, получаемые этим методом, будут автоматически принадлежать классу Определим для

и рассмотрим задачу

Для задачи справедлива следующая теорема существования.

Теорема 11.10. Пусть Тогда если функция выпукла по то задача разрешима при каждом значении К, при котором множество непусто.

Доказательство. Мы покажем, что функционал I полунепрерывен снизу на к в метрике равномерной сходамости в Так как функционал I также ограничен сверху на а множество предкомпактно в то отсюда и следует утверждение теоремы. Итак, пусть последовательность равномерно сходится к функции и Тогда

в силу выпуклости функции по Зафиксировав положим Предположим сначала, что Интегрируя по частям, получим

Если то поскольку для любого найдется функция такая, что . Тогда

Однако - при и поскольку то Следовательно, Число произвольное. Поэтому из

(11.21) вытекает, что а это и означает, что функционал полунепрерьюен снизу на в метрике равномерной сходимости.

Решение задачи будем называть -квазирешением задачи. Если существует такое пространство, в котором семейство всех -квазирешений для относительно компактно, то обобщенное решение задачи 9 можно получить как предел последовательности -квазирешений при Следующая теорема показывает, что разрешимость задачи является следствием существования априорной оценки в для квазирешений.

Теорема 11.11. Пусть - К-квазирешение задачи удовлетворяющее неравенству

Тогда если функция выпукла по совокупности переменных то функция и является также и решением задачи

Доказательство. Пусть Тогда в силу (11.22) для некоторого имеем Поскольку и — решение задачи то

Так как и функция выпукла то

Отсюда

Объединение теорем 11.10 и 11.11 можно рассматривать как утверждение, аналогичное теоремам 11.4 и 11.8. Практически получение требующихся оценок для квазирешений осуществляется в три этапа, соответствующих этапам процедуры доказательства существования, описанной в разделе 11.3. Именно:

(i) оценка

оценка с помощью величины

(iii) оценка с помощью (ii) величины

Многие оценки, полученные в гл. 10,15 и 16 (в частности, принцип сравнения (теорема 10.7)), в соответствующем виде имеют место для

квазирешений вариационных задач, вследствие чего облегчается реализация указанных выше этапов. Кроме того, при соответствующих условиях на оператор границу можно доказать, исследуя регулярность решений, существование классических решений задачи Дирихле на

Отметим, что методы, описанные выше, обобщаются на класс операторов дивергентной формы с помощью теории монотонных операторов и применимы к задачам с препятствиями. В этих случаях разрешимость задачи устанавливается для соответствующих вариационных неравенств. Для получения дальнейшей информации читатель отсылается к работам [45], [323], [159], [157], [233], [55], [123].

Примечания

Теорема Шаудера о неподвижной точке (теорема 11.1) быйа доказана в [343] и применена Шаудером к изучению нелинейных уравнений в [345]. Теоремы 11.3 и 11.6 являются частными случаями теоремы Лере-Шаудера [160]. Наши доказательства этих теорем следуют работам Шефера [348] и Браудера [44]. Применения к изучению задачи Дирихле (теорема 11.5) описаны, следуя Гилбаргу [66]. Для уравнения (11.7) Морри ([208], с. 98) доказал теорему 11.5, предполагая выполненным только условие ограниченности наклона и не требуя в теореме 11.4 условий регулярности для .

В первом издании этой книги было дано доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке, следующее работе [75]. В последние годы в литературе появилось много изящных и простых доказательств этой теоремы.