ЧАСТЬ II. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ГЛАВА 10. ПРИНЦИПЫ МАКСИМУМА И СРАВНЕНИЯ

В этой главе выводятся различные формы принципов максимума и сравнения для квазилинейных уравнений, обобщающих соответствующие результаты гл. 3. Мы будем рассматривать квазилинейный оператор второго порядка вида

где точка принадлежит области пространства если нет специальных оговорок, то будем предполагать, что функция и принадлежит Коэффициенты оператора функции предполагаются определенными при всех значениях принадлежащих множеству Два оператора вида (10.1) будем называть эквивалентными, если один из них получается из другого умножением на фиксированную положительную функцию, определенную в Уравнения соответствующие эквивалентным операторам мы будем также называть эквивалентными.

Введем следующие определения.

Пусть подмножество Оператор называется эллиптическим на множестве если матрица коэффициентов положительно определена для всех Это значит, что если соответственно минимальное и максимальное собственные значения матрицы то выполняются неравенства

для всех и всех Если, кроме того, отношение ограничено в то мы будем говорить, что оператор равномерно эллиптичен в Если оператор эллиптичен (равномерно эллиптичен) на всем множестве то будем просто говорить, что оператор эллиптичен (равномерно эллиптичен) в области Пусть функция и Будем говорить, что оператор эллиптичен на функции и, если матрица положительно определена для всех

Важную роль в дальнейшем будет играть скалярная функция определяемая равенством

Если оператор эллиптичен в то из (10.2) следует, что

Оператор является оператором в дивергентной форме, если существуют дифференцируемая вектор-функция и скалярная функция такие, что

Оператор в дивергентной форме можно записать в виде (10.1), где

В отличие от линейного оператора квазилинейный оператор с гладкими коэффициентами может и не приводиться к дивергентному виду.

Оператор называется вариационным, если он является оператором Эйлера — Лагранжа, соответствующим кратному интегралу с дифференцируемой скалярной функцией т. е. если оператор имеет дивергентный вид (10.5), в котором

Эллиптичность оператора эквивалентна строгой выпуклости функции по переменным

Примеры

В этом случае

и

Таким образом, рассматриваемый оператор эллиптичен при всех и равномерно эллиптичен, если Записывая этот оператор в виде

видим, что он эквивалентен оператору дивергентного вида; кроме того, оператор эквивалентен вариационному оператору, связанному с интегралом Уравнение совпадает с уравнением Лапласа при и с уравнением минимальных поверхностей при При и рассматриваемое уравнение появляется в теории трещин пластин и моделировании горения.

В этом случае

Рассматриваемый оператор эллиптичен при всех Он равномерно эллиптичен лишь при (в этом случае оператор является оператором Лапласа). При оператор эквивалентен вариационному оператору, порожденному интегралом Заметим, что при минимальное и максимальное собственные значения рассматриваемого оператора пропорциональны соответствующим собственным значениям матрицы старших коэффициентов оператора из предыдущего примера с Однако теоремы существования для этих операторов имеют различный характер, что является в значительной степени следствием различности порядков роста их функций

(iii) Уравнение поверхностей с заданной средней кривизной.

Пусть функция и Предположим, что график функции и в имеет среднюю кривизну в точке (средняя кривизна вычисляется относительно нормали к поверхности, направленной в сторону возрастания Тогда (см. приложение к гл. 14) функция и удовлетворяет уравнению

В этом случае

Оператор в (10.7) эквивалентен оператору из примера

Уравнение газовой динамики. Стационарный безвихревой поток идеальной сжимаемой жидкости описывается уравнением неразрывности где потенциал скоростей, а плотность жидкости связана со скоростью соотношением вида (соотношение плотность — скорость). Для совершенного газа эта связь имеет вид

где постоянная у равна отношению удельных теплоемкостей газа, . В этом случае уравнение, которому удовлетворяет потенциал скоростей и,

имеет вид

Минимальное и максимальное собственные значения матрицы старших коэффициентов этого уравнения соответственно равны

Уравнение эллиптично, если поток дозвуковой, т. е. когда и гиперболично, когда Отметим, что уравнение (10.8) при совпадает с уравнением минимальных поверхностей.

(v) Уравнение капиллярности. Профиль установившейся поверхности жидкости с постоянным поверхностным натяжением в равномерном поле тяжести подчиняется уравнению капиллярности

или, что эквивалентно, уравнению

где оператор, определенный в формуле (10.7); здесь - высота жидкости над невозмущенной поверхностью, k — постоянная, положительная или отрицательная в зависимости от того, внутрь или наружу действует гравитационное поле. При отсутствии гравитации это уравнение совпадает с уравнением (10.7) поверхностей постоянной средней кривизны с постоянной функцией . Функция и собственные значения те же самые, что и для уравнения (10.7). Естественное физическое граничное условие для функции и, удовлетворяющей уравнению (10.9) в области с фиксированной твердой границей, имеет вид

где величина у — так называемый угол контакта, т. е. угол между поверхностью жидкости и твердой границей, занимаемый жидкостью.