9.1. Принцип максимума для сильных решений

В этом разделе мы докажем обобщение классического принципа максимума гл. 3 на сильные решения - в частности, на решения, принадлежащие соболевскому пространству Напомним, что оператор вида (9.1) эллиптичен в области если матрица коэффициентов положительна всюду в Для оператора через 2) будем обозначать определитель матрицы, а через среднее геометрическое собственных значений матрицы Справедливо неравенство

где, как и ранее, через обозначены Минимальное и максимальное собственные значения матрицы А. Потребуем выполнения следующих

условий на коэффициенты оператора и на правую часть в уравнении (9.2):

Следующий слабый принцип максимума был получен А.Д. Александровым. Он является обобщением априорной оценки теоремы 3.7.

Теорема 9.1. Пусть в ограниченной области и пусть и Тогда

где С - постоянная, зависящая только от

Теорема вложения Соболева, в частности следствие 7.11, гарантирует, что функция, принадлежащая непрерывна в Если в условии теоремы не предполагать, что функция и непрерывна в то утверждение теоремы остается в силе, если величину заменить на

Доказательство. Доказательство теоремы 9.1 использует понятия контактного множества и нормального отображения. Некоторые его аспекты важны для дальнейшего. Если и — произвольная непрерывная на функция, то верхним контактным множеством функции и (будем обозначать его через или через назьюается множество всех тех точек у из для которых график функции рассматриваемый как поверхность в лежит не выше (некоторой) опорной плоскости, проведенной в точке т.е.

Ясно, что функция и будет вогнутой в тогда и только тогда, когда Если и то в качестве в соотношении (9.5) нужно брать ибо в этом случае любая опорная плоскость должна быть плоскостью, касательной к графику и. Более того, если функция и то гессиан неположителен на В общем случае множество замкнуто в

Для любой функции и нормальное отображение в точке , определяется как множество "наклонов" опорных плоскостей, проведенных в точке у, лежащих не ниже графика и, т.е.

Ясно, что множество непусто тогда и только тогда, когда Более того, если функция и то на т. е. является потенциальным векторным полем — полем градиента функции и на

Рассмотрим полезный пример с недифференцируемой функцией и. В шаре рассмотрим функцию и, графиком которой является конус

с основанием и вершиной где а — некоторое положительное число,

Тогда

Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 9.2. Если и справедливо неравенство

где

Доказательство. Заменой на мы можем добиться того, что на -мерная мера Лебега нормального отображения задается формулой

так как на . Формулу (9.9) можно получить как следствие формулы замены переменных, если для положительного рассмотреть отображение , матрица Якоби которого равна и является строго отрицательной матрицей.в окрестности Г+, а затем устремить к нулю. Более того, несложно показать, что отображение взаимно однозначно на Г + , и поэтому имеет место равенство (9.9).

Теперь покажем, что функция и может быть оценена через . Предположим, что функция и имеет положительный максимум в точке . Пусть - функция, график которой является конусом К с вершиной и основанием . Тогда так как для каждой опорной к К плоскости существует параллельная ей плоскость, касающаяся графика и. Пусть - функция, графиком которой является конус К с вершиной и основанием . Ясно, что , и поэтому -мерная мера Лебега нормального отображения задается формулой

так как на Формулу (9.9) можно получить как следствие формулы замены переменных, если для положительного рассмотреть отображение матрица Якоби которого равна и является строго отрицательной окрестности а затем устремить к нулю. Более того, несложно показать, что отображение взаимно однозначно на и поэтому имеет место равенство (9.9).

Теперь покажем, что функция и может быть оценена через Предположим, что функция и имеет положительный максимум в точке , Пусть — функция, график которой является конусом К с вершиной и основанием Тогда с так как для каждой опорной к К плоскости существует параллельная ей плоскость, касающаяся графика . Пусть — функция, графиком которой является конус К с вершиной и основанием Ясно, что и поэтому Тогда, используя (9.7) и (9.9), находим, что

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Частный случай оценки (9.4) для следует из леммы 9.2 с помощью матричного неравенства

в котором матрицы симметричны и неотрицательны.

Полагая мы получаем на неравенство

Сформулируем итоговую оценку, используемую в дальнейшем.

Лемма 9.3. Для выполняется неравенство

Полное доказательство оценки (9.4) следует из следующего обобщения лемм 9.2 и 9.3.

Лемма 9.4. Пусть функция неотрицательная и локально интегрируемая на Тогда для любой функции и справедливы неравенства

где

Доказательство. Доказательство леммы 9.4 аналогично доказательствам лемм 9.2 и 9.3, соответствующим случаю Вместо (9.9) используется более общая формула

атак то оценка (9.12) получается из (9.7) и (9.10). Предположим теперь, что функция и и выполняются неравенство и условие (9.3). В качестве функции возьмем функцию

где некоторое положительное число, которое мы выберем позже. Используя неравенство Гёльдера, мы в получим неравенство

Отсюда в силу (9.12)

Интеграл в левой части можно оценить снизу с помощью неравенства . В итоге получим

Если то положив получим

Если же то, устремляя 0, опять получим (9.14).

Итак, оценка (9.4) доказана для функции и Ее обобщение на функции и можно получить с помощью аппроксимации. Предположим сначала, что оператор равномерно эллиптичен в причем отношение ограничено в Пусть последовательность функций из сходящаяся в к функции и. Для произвольного мы можем считать, что в области последовательность сходится к функции и в и что выполнены неравенства и на границе Поэтому, применяя неравенство (9.4) к функциям вместо получим

Устремляя и используя равномерную сходимость последовательности к функции на получим неравенство

Отсюда следует неравенство (9.4), если устремить к нулю.

Освободимся от ограничений на использованных выше. Для этого при рассмотрим операторы

Из (9.15) имеем

Устремив на основании теоремы о мажорированной сходимости мы приходим к неравенству (9.15). Наконец, если устремить к нулю, мы придем к доказательству теоремы 9.1.

Отметим, что при из оценки (9.14) не следует оценка (9.11). В действительности в (9.11) можно улучшить постоянную и можно получить резкое улучшение постоянной в (9.14) с помощью точного интегрирования функции и оптимизации выбора задачи 9.1 и 9.3). Зависимость от можно заменить на зависимость от где выпуклая оболочка задачу 9.3).

При теорема 9.1 является обобщением слабого принципа максимума, теорема 3.1 и следствие 3.2. Следующий результат о единственности сильного решения задачи Дирихле обобщает теорему 3.3 и получается автоматически.

Теорема 9.5. Пусть эллиптический оператор, заданный в и удовлетворяющий (9.3). Предположим, что и функции из Удовлетворяющие условиям на

Тогда и

Из слабого принципа максимума можно также вывести обобщение сильного принципа максимума (теорема 3.5). Как и в теореме 3.5, предположим, что оператор равномерно эллиптичен в и что функции ограничены.

Теорема 9.6. Если функция и удовлетворяет в неравенству и если то функция и не может достигать максимума (неотрицательного максимума) в если только и не является постоянной.

Доказательство. Если функция и дифференцируема, то мы можем следовать доказательству теоремы 3.5, в котором вместо следствия 3.2 надо воспользоваться теоремой 9.1. В общем случае достаточно сделать небольшое изменение доказательства теоремы 3.5. Если мы предположим, вопреки утверждению теоремы, что функция и не является постоянной в и достигает своего максимума в то будут существовать такие концентрические шары что и в некоторой точке Тогда, используя теорему 9.1 и вспомогательную функцию из доказательства леммы 3.4, удовлетворяющую условию мы получим в шаровом слое неравенство — некоторым Но это неравенство не выполняется при