10.2. Принципы максимума
С помощью теоремы 10.1 докажем следующее обобщение на квазилинейные уравнения априорной оценки, данной в теореме 3.7, иллюстрирующее также важность функции
Теорема 10.3. Пусть оператор
эллиптичен в
и пусть существуют такие неотрицательные постоянные
Тогда если функция и
удовлетворяет в
неравенству
(равенству
), то
с постоянной
Доказательство. Пусть функция
удовлетворяет в
неравенству
Определим оператор
равенством
В качестве функции сравнения возьмем такую же функцию и, как и в доказательстве теоремы 3.7. А именно, для
положим
где
ширина полосы, содержащей область
Тогда в
справедливо неравенство
что, в силу (10.10), меньше
, а
Таким образом,
Следовательно, по теореме 10.1 в
будет иметь место неравенство и
Устремив
к нулю, получаем соответствующий результат для
Для равномерно эллиптических операторов условие (10.10) эквивалентно условию вида
для всех
Примером неравномерно эллиптического оператора, удовлетворяющего условию (10.10) и не удовлетворяющего условию (10.12), является оператор
Из доказательства теоремы 10.3 видно, что для ее справедливости нужны только следующие условия:
(ii) оператор
эллиптичен на функции
(iii) существует фиксированный вектор
такой, что выполнено условие (10.10) во всех точках
где
Другие варианты принципа максимума приведены в задачах 10.1 и 10.2.
Условие (10.12) может быть обобщено, но в несколько ином виде, на неравномерно эллиптические операторы с помощью принципа максимума Александрова (теорема 9.1). Следуя обозначениям гл. 9, введем
Теорема 10.4. Пусть оператор
эллиптичен в
Предположим, что существуют такие неотрицательные постоянные
что
Тогда если функция (12)
удовлетворяет в
неравенству
(равенству
справедливо неравенство
с постоянной
Доказательство. В подобласти
выполняются неравенства
Отсюда с помощью теоремы 9.1 получается оценка (10.14) для
Оценка (10.14) для
получается, если воспользоваться заменой и
Теорема 10.4 в действительности неявно имеется в доказательстве теоремы 9.1. Более того, с помощью леммы 9.4 получается следующий результат.
Теорема 10.5. Пусть оператор
эллиптичен в ограниченной области
Предположим, что существуют такие неотрицательные функции
что
для всех
Тогда если функция
удовлетворяет в
неравенству
(равенству
), то справедливо неравенство
с постоянной С, зависящей от
Допускается, как и в случае теоремы 9.1, что величина
может равняться бесконечности; в этом случае условие (10.16) становится
излишним. Если функция
положительна, а функция
определена равенством
то постоянная С в (10.17) вычисляется по формуле
В заключение этого раздела применим теорему 10.5 к уравнению поверхностей с заданной средней кривизной (10.7), В этом случае
и мы можем взять
Вычисления показывают, что
Следовательно, справедлива следующая оценка.
Следствие 10.6. Пусть функция
является решением уравнения поверхностей с заданной средней кривизной (10.7) в ограниченной области
Тогда если
то
где
Отметим, наконец, что оценки этого раздела остаются справедливыми для субрешений и решений, принадлежащих