10.2. Принципы максимума

С помощью теоремы 10.1 докажем следующее обобщение на квазилинейные уравнения априорной оценки, данной в теореме 3.7, иллюстрирующее также важность функции

Теорема 10.3. Пусть оператор эллиптичен в и пусть существуют такие неотрицательные постоянные

Тогда если функция и удовлетворяет в неравенству (равенству ), то

с постоянной

Доказательство. Пусть функция удовлетворяет в неравенству Определим оператор равенством

В качестве функции сравнения возьмем такую же функцию и, как и в доказательстве теоремы 3.7. А именно, для положим

где ширина полосы, содержащей область Тогда в справедливо неравенство

что, в силу (10.10), меньше , а Таким образом, Следовательно, по теореме 10.1 в будет иметь место неравенство и Устремив к нулю, получаем соответствующий результат для

Для равномерно эллиптических операторов условие (10.10) эквивалентно условию вида

для всех Примером неравномерно эллиптического оператора, удовлетворяющего условию (10.10) и не удовлетворяющего условию (10.12), является оператор

Из доказательства теоремы 10.3 видно, что для ее справедливости нужны только следующие условия:

(ii) оператор эллиптичен на функции

(iii) существует фиксированный вектор такой, что выполнено условие (10.10) во всех точках где Другие варианты принципа максимума приведены в задачах 10.1 и 10.2.

Условие (10.12) может быть обобщено, но в несколько ином виде, на неравномерно эллиптические операторы с помощью принципа максимума Александрова (теорема 9.1). Следуя обозначениям гл. 9, введем

Теорема 10.4. Пусть оператор эллиптичен в Предположим, что существуют такие неотрицательные постоянные что

Тогда если функция (12) удовлетворяет в неравенству (равенству справедливо неравенство

с постоянной

Доказательство. В подобласти выполняются неравенства

Отсюда с помощью теоремы 9.1 получается оценка (10.14) для Оценка (10.14) для получается, если воспользоваться заменой и

Теорема 10.4 в действительности неявно имеется в доказательстве теоремы 9.1. Более того, с помощью леммы 9.4 получается следующий результат.

Теорема 10.5. Пусть оператор эллиптичен в ограниченной области Предположим, что существуют такие неотрицательные функции что

для всех

Тогда если функция удовлетворяет в неравенству (равенству ), то справедливо неравенство

с постоянной С, зависящей от

Допускается, как и в случае теоремы 9.1, что величина может равняться бесконечности; в этом случае условие (10.16) становится

излишним. Если функция положительна, а функция определена равенством

то постоянная С в (10.17) вычисляется по формуле

В заключение этого раздела применим теорему 10.5 к уравнению поверхностей с заданной средней кривизной (10.7), В этом случае и мы можем взять

Вычисления показывают, что

Следовательно, справедлива следующая оценка.

Следствие 10.6. Пусть функция является решением уравнения поверхностей с заданной средней кривизной (10.7) в ограниченной области Тогда если

то

где

Отметим, наконец, что оценки этого раздела остаются справедливыми для субрешений и решений, принадлежащих