8.5. Глобальная ограниченность слабых решений
В этом разделе мы получим результаты о глобальной ограниченности тех решений уравнения (8.3) из
которые ограничены на
Будет использована интересная техника, основанная на специальном выборе пробных функций. Используемые при этом построения применимы не только к линейным, но и к нелинейным операторам определенной структуры. Запишем уравнение (8.3) в виде
где
Слабо дифференцируемая функция и называется слабым субрешением (суперрешением, решением) уравнения (8.28) в
если функции
локально интегрируемы и если
для всех
принадлежащих
Обозначая
используя условие (8.5), с помощью неравенства Шварца получаем оценку
Неравенства вида (8.31), которым удовлетворяют величины
из уравнения (8.3), будем называть структурными неравенствами. Упростим вид структурных неравенств. Пусть
где k — некоторое положительное число. Тогда для любого
Если
равны нулю, то
в структурных неравенствах (8.33) неполученном неравенстве можно взять
. Если же
то, выбирая число
равным
как это указано в формулировке теоремы), мы получим, что величина
может быть оценена величиной, зависящей только от
Итак, выбирая число к так, как указано в утверждении теоремы, мы получаем неравенство
с постоянной
Устремим здесь Функция
станет равной
.
Из неравенства (8.36) получим: при любом
из условия
следует условие
Введем числа
и перепишем неравенство (8.36) в виде
Требуемый результат получается с помощью итераций неравенства (8.37). По индукции получаем, что
Пусть
Тогда
с постоянной
Устремляя получаем неравенство
Отсюда с помощью интерполяционного неравенства следует неравенство
Осталось вспомнить, что
Для суперрешений соответствующее утверждение следует из доказанного, если заменить и на
.
Техника итераций
-норм, использованная выше, была предложена Мозером [209]. Доказательство теоремы 8.15 можно усовершенствовать, если другим способом выбирать пробные функции (см. [147] или [273]).
Пусть в утверждении теоремы 8.5 условие и
на
заменено более общим условием
на
где
некоторая постоянная. Тогда, так как
то можно использовать утверждение теоремы 8.5 для функции
При этом в качестве постоянной к надо будет взять величину
Таким образом, субрешение (суперрешение) и уравнения (8.3) удовлетворяет неравенству
где, как и ранее,
. В частности, если
— решение, то неравенство (8.38) имеет место для
Получим оценку для
не зависящую от
Такого типа априорная оценка обобщает слабый принцип максимума (см. теорему 8.1). В силу оценки (8.16) норма
может быть оценена величиной, не зависящей от и, если и — решение уравнения (8.3) с оператором
осуществляющим взаимно однозначное отображение. Последнее имеет место, например, в случае, когда выполнено (8.8). Аналогичная оценка может быть получена для субрешений с помощью слабого принципа максимума и теоремы существования (теорема 8.3). Если функция и является субрешением уравнения (8.3) и если выполнено (8.8), то существует функция и, являющаяся решением обобщенной задачи Дирихле
на
. В силу теоремы 8.1 и в
и тогда
Поэтому для субрешений уравнения (8.3) справедливо неравенство
с постоянной С, не зависящей от
.
Покажем, что этот результат может быть получен на основании структурных неравенств (8.31), без привлечения теорем существования для линейных уравнений, причем постоянная С будет зависеть от тех же величин, что и постоянная из неравенства (8.34).
Теорема. 8.16. Пусть оператор
удовлетворяет условиям (8.5), (8.6) и (8.8). Предположим, что
для некоторого
Тогда если функция и является субрешением (суперрешением) уравнения (8.3), принадлежащим
то
где
Доказательство. Предположим, что функция
— субрешение уравнения (8.3). В силу условия (8.8) величина
и является суперрешением. Не ограничивая общности, можно считать, что
Поступая так же, как в доказательстве теоремы 8.1, получаем
для всех неотрицательных функций и из
таких, что
Для интегрального неравенства (8.40) выполнены структурные неравенства (8.31), если в них положить
а вектор с заменить на
Пусть
Подставим в (8.40) пробную функцию
Используя (8.31), получим
Отсюда, в силу определения к, получаем
Положим теперь
. Применив неравенство Шварца, получим
а отсюда по неравенству Соболева (7.26) следует, что
Покажем, что функция
является субрешением уравнения (8.3). Беря функцию
(12) такую, что
подставим в (8.40) пробную функцию
Тогда
Следовательно,
и
где
очевидно,
Итак, функция
является субрешением. Мы можем, следовательно, воспользоваться теоремой 8.15. Получим, учитывая неравенство (8.41), что
где
Итак,
а из этого неравенства следует требуемая оценка (8.39). Соответствующий результат дня суперрешений получается из доказанного заменой и на
Теорему 8.16 можно рассматривать как обобщение классической априорной оценки, теорема 3.7. Отметим, что результат остается справедливым, если в условии (8.8) величины
заменить на величины
(см. теорему 9.7). Кроме того, из проведенного доказательства видно, что ограниченность коэффициентов
можно заменить условием