8.5. Глобальная ограниченность слабых решений

В этом разделе мы получим результаты о глобальной ограниченности тех решений уравнения (8.3) из которые ограничены на Будет использована интересная техника, основанная на специальном выборе пробных функций. Используемые при этом построения применимы не только к линейным, но и к нелинейным операторам определенной структуры. Запишем уравнение (8.3) в виде

где

Слабо дифференцируемая функция и называется слабым субрешением (суперрешением, решением) уравнения (8.28) в если функции локально интегрируемы и если

для всех принадлежащих

Обозначая используя условие (8.5), с помощью неравенства Шварца получаем оценку

Неравенства вида (8.31), которым удовлетворяют величины из уравнения (8.3), будем называть структурными неравенствами. Упростим вид структурных неравенств. Пусть

где k — некоторое положительное число. Тогда для любого

выполняются неравенства

Эти неравенства более удобны в дальнейших приложениях. Докажем следующую теорему.

Теорема 8.15. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6). Предположим, что где Тогда если функция и из является субрешением (суперрешением) уравнения (8.3) в удовлетворяющим неравенству и на границе справедливо неравенство

где

Доказательство. Предположим, что функция — субрешение (8.3). Для к определим функцию , полагая для и взяв линейной при Обозначив подствим функцию

в интегральное тождество (8.30). В силу цепного правила (теорема 7.8) функцию можно подставить в качестве пробной функции в (8.30). После подстановки, используя неравенства (8.33), получаем

ибо при Взяв получим неравенство откуда в силу (8.35) следует, что Так как мы можем применить неравенство Соболева (7.26) и неравенство Гёльдера. Получим

Здесь обозначено: при любое число, удовлетворяющее неравенствам . В полученном неравенстве постоянная С зависит только от при и зависит от при

Если равны нулю, то в структурных неравенствах (8.33) неполученном неравенстве можно взять . Если же то, выбирая число равным как это указано в формулировке теоремы), мы получим, что величина может быть оценена величиной, зависящей только от Итак, выбирая число к так, как указано в утверждении теоремы, мы получаем неравенство

с постоянной

Устремим здесь Функция станет равной .

Из неравенства (8.36) получим: при любом из условия следует условие Введем числа

и перепишем неравенство (8.36) в виде

Требуемый результат получается с помощью итераций неравенства (8.37). По индукции получаем, что Пусть Тогда

с постоянной Устремляя получаем неравенство Отсюда с помощью интерполяционного неравенства следует неравенство Осталось вспомнить, что Для суперрешений соответствующее утверждение следует из доказанного, если заменить и на .

Техника итераций -норм, использованная выше, была предложена Мозером [209]. Доказательство теоремы 8.15 можно усовершенствовать, если другим способом выбирать пробные функции (см. [147] или [273]).

Пусть в утверждении теоремы 8.5 условие и на заменено более общим условием на где некоторая постоянная. Тогда, так как то можно использовать утверждение теоремы 8.5 для функции При этом в качестве постоянной к надо будет взять величину Таким образом, субрешение (суперрешение) и уравнения (8.3) удовлетворяет неравенству

где, как и ранее, . В частности, если — решение, то неравенство (8.38) имеет место для

Получим оценку для не зависящую от Такого типа априорная оценка обобщает слабый принцип максимума (см. теорему 8.1). В силу оценки (8.16) норма может быть оценена величиной, не зависящей от и, если и — решение уравнения (8.3) с оператором осуществляющим взаимно однозначное отображение. Последнее имеет место, например, в случае, когда выполнено (8.8). Аналогичная оценка может быть получена для субрешений с помощью слабого принципа максимума и теоремы существования (теорема 8.3). Если функция и является субрешением уравнения (8.3) и если выполнено (8.8), то существует функция и, являющаяся решением обобщенной задачи Дирихле на . В силу теоремы 8.1 и в и тогда Поэтому для субрешений уравнения (8.3) справедливо неравенство с постоянной С, не зависящей от .

Покажем, что этот результат может быть получен на основании структурных неравенств (8.31), без привлечения теорем существования для линейных уравнений, причем постоянная С будет зависеть от тех же величин, что и постоянная из неравенства (8.34).

Теорема. 8.16. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5), (8.6) и (8.8). Предположим, что для некоторого Тогда если функция и является субрешением (суперрешением) уравнения (8.3), принадлежащим то

где

Доказательство. Предположим, что функция — субрешение уравнения (8.3). В силу условия (8.8) величина и является суперрешением. Не ограничивая общности, можно считать, что Поступая так же, как в доказательстве теоремы 8.1, получаем

для всех неотрицательных функций и из таких, что Для интегрального неравенства (8.40) выполнены структурные неравенства (8.31), если в них положить а вектор с заменить на Пусть Подставим в (8.40) пробную функцию Используя (8.31), получим

Отсюда, в силу определения к, получаем

Положим теперь . Применив неравенство Шварца, получим

а отсюда по неравенству Соболева (7.26) следует, что

Покажем, что функция является субрешением уравнения (8.3). Беря функцию (12) такую, что подставим в (8.40) пробную функцию Тогда

Следовательно,

и

где очевидно,

Итак, функция является субрешением. Мы можем, следовательно, воспользоваться теоремой 8.15. Получим, учитывая неравенство (8.41), что где

Итак, а из этого неравенства следует требуемая оценка (8.39). Соответствующий результат дня суперрешений получается из доказанного заменой и на

Теорему 8.16 можно рассматривать как обобщение классической априорной оценки, теорема 3.7. Отметим, что результат остается справедливым, если в условии (8.8) величины заменить на величины (см. теорему 9.7). Кроме того, из проведенного доказательства видно, что ограниченность коэффициентов можно заменить условием