Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
(где
). Пусть
где
В области
выберем функцию сравнения, аналогичную (3.17), вида
где
и к — такие постоянные, что
Несложно проверить, что
на
а отсюда следует, что
Если, как и выше, мы положим в этом неравенстве
а затем поделим на у и устремим у к нулю, то получим оценку
Ясно, что тот же самый результат получается, если
заменить на
Отметим, что в отличие от предыдущего случая доказательство оценки (3.19) не требует введения оператора в
Если теперь
в области
пространства
то мы можем получить из (3.18) и (3.19) оценку для
где х и у - две произвольные точки области
Пусть
Считаем, что
Предположим сначала, что
и рассмотрим отрезок, соединяющий точки
Возьмем середину этого отрезка в качестве начала координат и выберем систему координат так, чтобы точки х и у находились на оси
в новых координатах
Куб
лежит в
на расстоянии от
меньшем
Поэтому мы можем использовать (3.16), (3.18) и (3.19) непосредственно в
Получаем оценку
с некоторой постоянной
Следовательно,
Если
— такие точки области
что
то из (3.16) имеем
Комбинируя полученные неравенства, приходим к оценке
в которой постоянная С зависит только от
Полученные результаты объединим в следующей теореме. Теорема 3.9. Пусть функция и
удовлетворяет в области
уравнению Пуассона
Тогда
и для всех
где
Здесь
Несмотря на элементарный характер доказательства, эта теорема является по существу точной, оценка (3.20) не может быть улучшена без дополнительных условий о непрерывности функции
. Теорема 3.9 остается справедливой и для слабых, в смысле гл. 8, решений, в предположении ограниченности правой части
(см. задачу 8.4).
Усиление установленных выше результатов на случай непрерывных по Гёльдеру функций
будет осуществлено другими методами в гл. 4, в которой для этого с успехом используется метод сравнения (см. [41], [42]).