3.4. Оценки градиента решения уравнения Пуассона

При дополнительных условиях на уравнение с помощью принципа максимума можно получать и оценки производных решения. Для иллюстрации этого метода мы получим такие оценки для решений уравнения Пуассона. Далее эти результаты использоваться не будут. Пусть в кубе и функция ограничена в Используя принцип сравнения, докажем оценку

В полукубе

рассмотрим функцию

где

Рассмотрим также функцию

Отметим, что при на остальной части Кроме того, Поэтому на из чего в силу принципа максимума следует оценка В выражениях для положим разделим их на и устремим к нулю. Получим

что и является требуемой оценкой (3.15) при Так же устанавливается справедливость этого результата при Если то из (3.15) следует независимое доказательство оценки градиента (2.31) для гармонических функций.

Из (3.15) следует, что в произвольной области ограниченное решение и уравнения удовлетворяет оценке

где . Если есть куб с центром в точке х с длиной ребра то из (3.15) следует неравенство

(Здесь мы используем одну и ту же букву С для обозначения различных постоянных, зависящих только от .)

В тех же предположениях, применяя аналогичные рассуждения, мы теперь получим оценку модулей непрерывности градиента решений уравнения Пуассона.

Пусть опять функция является решением уравнения кубе положим

Пусть область в заданная формулой

определим в функцию

Рассмотрим эллиптический оператор

от переменных Видно, что Далее в имеем:

(iii) , где — такая постоянная, что в ; выражение постоянной через и получается из оценки (3.16). В качестве функции сравнения возьмем определенную в функцию

где k — положительная постоянная, которую мы выберем позднее. Отметим, что на Так как

то при . С такой достоянной к функция

удовлетворяет условиям на Поэтому

Положим в этом неравенстве разделим его на z и устремим z к нулю. Получим

С помощью несложной модификации проведенных выше рассуждений аналогичная оценка может быть получена для

(где ). Пусть

где В области

выберем функцию сравнения, аналогичную (3.17), вида

где и к — такие постоянные, что

Несложно проверить, что на а отсюда следует, что Если, как и выше, мы положим в этом неравенстве а затем поделим на у и устремим у к нулю, то получим оценку

Ясно, что тот же самый результат получается, если заменить на Отметим, что в отличие от предыдущего случая доказательство оценки (3.19) не требует введения оператора в

Если теперь в области пространства то мы можем получить из (3.18) и (3.19) оценку для где х и у - две произвольные точки области Пусть Считаем, что Предположим сначала, что и рассмотрим отрезок, соединяющий точки Возьмем середину этого отрезка в качестве начала координат и выберем систему координат так, чтобы точки х и у находились на оси в новых координатах Куб лежит в на расстоянии от меньшем Поэтому мы можем использовать (3.16), (3.18) и (3.19) непосредственно в Получаем оценку

с некоторой постоянной Следовательно,

Если — такие точки области что то из (3.16) имеем

Комбинируя полученные неравенства, приходим к оценке

в которой постоянная С зависит только от

Полученные результаты объединим в следующей теореме. Теорема 3.9. Пусть функция и удовлетворяет в области уравнению Пуассона Тогда

и для всех

где Здесь

Несмотря на элементарный характер доказательства, эта теорема является по существу точной, оценка (3.20) не может быть улучшена без дополнительных условий о непрерывности функции . Теорема 3.9 остается справедливой и для слабых, в смысле гл. 8, решений, в предположении ограниченности правой части (см. задачу 8.4).

Усиление установленных выше результатов на случай непрерывных по Гёльдеру функций будет осуществлено другими методами в гл. 4, в которой для этого с успехом используется метод сравнения (см. [41], [42]).