9.8. Оценки Гёльдера и неравенство Харнака
В этом разделе мы опишем метод получения оценок Гёльдера и неравенства Харнака, принадлежащий Крылову и Сафонову [138], [139]. Эти оценки являются аналогами для равномерно эллиптических операторов общего вида оценок Де Джорджи, Нэша и Мозера для операторов дивергентного вида. Для последующего изучения в гл. 17 вполне нелинейных эллиптических уравнений важную роль играет слабое неравенство Харнака для неотрицательных суперрешений. Из него также легко выводятся оценки Гёльдера и неравенство Харнака.
Теорема 9.22. Пусть функция и
удовлетворяет неравенству
где
Пусть функция и неотрицательна в шаре
Тогда
где
- положительные постоянные, зависящие только от
Доказательство. Предположим сначала, что
(последнее достигается с помощью замены
на
соответственно)
Полагая
где
а функция
задана равенством (9.49), с помощью неравенства Шварца получим
Так как
то
если
в частности, если
Следовательно, если
а показатель
выбран так, что
то
для всех
Отсюда получаем, что
Доказательство. Сначала с помощью индукции докажем, что
для всех натуральных
удовлетворяющих условию
При
это утверждение очевидно. Предположим, что оно справедливо для некоторого
что
Определим множество
равенством
Из процедуры разбиения куба, описанной в разделе 9.2, при
из неравенства (9.20) получаем, что или
или
Следовательно, если заменить к на
получаем
, а это гарантирует справедливость требуемого утверждения при
Оценка (9.59) получается с помощью выбора соответствующего значения
Положим в лемме
Оценка (9.56) при этом останется справедливой, если
заменить на
Пусть
функция распределения и на
. С помощью (9.53) и (9.59), полагая
получаем оценку
где
— положительные постоянные, зависящие только от
Заменяя куб
на вписанный шар
и используя лемму 9.7, получаем оценку
для
например для
Если, далее, устремить
использовать покрытия для получения оценок (9.6) с произвольным
(например, с
и, наконец, использовать преобразование координат
то получим слабое неравенство Харнака в виде (9.52). Приспосабливая доказательство оценки Гёльдера для оператора дивергентного вида (теорема 8.22) (с небольшими модификациями, компенсирующими отсутствие значения
в слабом неравенстве Харнака (9.52)), из теоремы 9.22 можно получить оценку Гёльдера для операторов общего вида.
Следствие 9.24. Пусть функция и
удовлетворяет в
уравнению
Тогда для любого шара
и любого
справедливо неравенство
где
положительные постоянные, а
Объединяя теорему 9.22 с оценкой субрешения (теорема 9.20), мы получаем неравенство Харнака.