9.8. Оценки Гёльдера и неравенство Харнака

В этом разделе мы опишем метод получения оценок Гёльдера и неравенства Харнака, принадлежащий Крылову и Сафонову [138], [139]. Эти оценки являются аналогами для равномерно эллиптических операторов общего вида оценок Де Джорджи, Нэша и Мозера для операторов дивергентного вида. Для последующего изучения в гл. 17 вполне нелинейных эллиптических уравнений важную роль играет слабое неравенство Харнака для неотрицательных суперрешений. Из него также легко выводятся оценки Гёльдера и неравенство Харнака.

Теорема 9.22. Пусть функция и удовлетворяет неравенству где Пусть функция и неотрицательна в шаре Тогда

где - положительные постоянные, зависящие только от

Доказательство. Предположим сначала, что (последнее достигается с помощью замены на соответственно) Полагая

где а функция задана равенством (9.49), с помощью неравенства Шварца получим

Так как

то если в частности, если Следовательно, если а показатель выбран так, что то для всех Отсюда получаем, что

на множестве выполняется неравенство

Применяя лемму 9.3 и замечая, что в приходим к оценке для функции . А именно,

с постоянной

Чтобы можно было воспользоваться процедурой разбиения куба, описанной в гл. 9.2, с этого момента заменим в рассуждениях шары на кубы. Для любой точки для через будем обозначать открытый куб с центром в точке у и с ребрами длины параллельными координатным осям. Если то и из (9.54) следует, что

где Поэтому если то где постоянная из (9.54). Возьмем теперь и одновременно зафиксируем в. С помощью преобразования мы получаем для произвольного куба такого, что и

оценку

Доказательство теоремы 9.22 завершается теперь с помощью следующей леммы.

Лемма 9.23. Пусть кубе Предположим, что существуют такие положительные постоянные

если только число k и куб таковы, что

Тогда для всех k

Доказательство. Сначала с помощью индукции докажем, что

для всех натуральных удовлетворяющих условию

При это утверждение очевидно. Предположим, что оно справедливо для некоторого что Определим множество равенством

Из процедуры разбиения куба, описанной в разделе 9.2, при из неравенства (9.20) получаем, что или или Следовательно, если заменить к на получаем , а это гарантирует справедливость требуемого утверждения при Оценка (9.59) получается с помощью выбора соответствующего значения

Положим в лемме Оценка (9.56) при этом останется справедливой, если заменить на Пусть функция распределения и на . С помощью (9.53) и (9.59), полагая получаем оценку

где — положительные постоянные, зависящие только от Заменяя куб на вписанный шар и используя лемму 9.7, получаем оценку

для например для Если, далее, устремить использовать покрытия для получения оценок (9.6) с произвольным (например, с и, наконец, использовать преобразование координат то получим слабое неравенство Харнака в виде (9.52). Приспосабливая доказательство оценки Гёльдера для оператора дивергентного вида (теорема 8.22) (с небольшими модификациями, компенсирующими отсутствие значения в слабом неравенстве Харнака (9.52)), из теоремы 9.22 можно получить оценку Гёльдера для операторов общего вида.

Следствие 9.24. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению Тогда для любого шара и любого справедливо неравенство

где положительные постоянные, а

Объединяя теорему 9.22 с оценкой субрешения (теорема 9.20), мы получаем неравенство Харнака.

Следствие 9.25. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению и неотрицательна. Тогда для произвольного шара имеем

с постоянной